Prototipo 101

1 Introducción y dibujo de la curva de la catenaria

Visualización de la curva de la catenaria

A lo largo de este artículo científico se realizará un estudio matemático de la curva de la catenaria apoyado del software científico de visualización MATLAB. La catenaria da nombre a la curvatura que describe un cable suspendido por sus dos extremos y condicionada únicamente por una fuerza gravitatoria uniforme. Esta curva natural tiene unas propiedades físicas interesantes por su eficiencia energética y un diseño estético. En este documento se analizan sus características fundamentales de interés matemático y físico y se muestra cómo los ingenieros han hecho uso de esta curva en sus proyectos.

La ecuación en el plano de la curva de la catenaria es [math]y=Acosh(\dfrac{x}{A})[/math] en la que el valor de A marca el vértice de la curva para [math]x=0[/math]. La parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas en función del tiempo [math]t[/math] es la siguiente:

[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]

Esta parametrización define una curva específica que será constante en todo el artículo.

%Fijamos el parámetro A (Vértice de la catenaria)
A=3;
%Vector temporal desde -1 hasta 1 dividido en 1000 instantes
t=linspace(-1,1,1000);
%Definimos la parametrización de la curva en coordenadas cartesianas
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujamos
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8])
grid on
axis equal
title('Visualización de la curva de la catenaria')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')

2 Vectores velocidad [math]γ'(t)[/math] y aceleración [math]γ"(t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva

Catenaria y vectores velocidad y aceleración

Partimos de la parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas

[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]

Definimos su velocidad como el campo vectorial resultante de derivar el vector posición respecto del tiempo

[math]γ'(t)=\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

Definimos la aceleración como el campo vectorial resultante de derivar por segunda vez el vector posición respecto del tiempo

[math]γ"(t)=\dfrac{t}{A}cosh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

%Nuestra catenaria modelo
A = 3;
t = linspace(-1,1,1000);
x = t;
y = A*cosh(t/A);
hold on
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8],'linewidth',3)
%Definimos el campo vectorial de la velocidad
vx=ones(size(t));
vy=sinh(t/A);
%Definimos el campo vectorial de la aceleración
ax=zeros(size(t));
ay=(1/A)*cosh(t/A);
%Segundo vector temporal
t2=1:120:length(t);
%Dibujamos
quiver(x(t2),y(t2),vx(t2),vy(t2),'Color',[0.55 0.65 0.4],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2)
quiver(x(t2),y(t2),ax(t2),ay(t2),'Color',[0.95 0.5 0.05],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2)
legend('Catenaria','Velocidad V(t)','Aceleración A(t)')
grid on
axis equal
title('Catenaria y vectores velocidad y aceleración')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
hold off

3 Cálculo de la longitud de la curva

Para calcular la longitud de la curva se puede hacer uso del vector velocidad siguiente forma

[math]l(γ)=\int_{a}^{b}|γ'(t)|dt=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt[/math]

Teniendo en cuenta que [math]cosh(t)^2-senh(t)^2=1[/math] y que la función es simétrica en [math]x=0[/math] el cálculo de la longitud de la curva es el siguiente

[math]l(γ)=\int_{-1}^{1}|\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j|dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1^2+(senh(\dfrac{t}{A})^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh(\dfrac{t}{A})^2}dt=\int_{-1}^{1}cosh(\dfrac{t}{A})dt=2\int_{0}^{1}cosh(\dfrac{t}{A})dt=2Asenh(\dfrac{t}{A})|_{0}^{1}=2Asenh(\dfrac{1}{A})=2ˑ3senh(\dfrac{1}{3})=2,037[/math]

4 Cálculo de los vectores tangente [math]\vec t (t)[/math] y normal [math]\vec n (t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva

Catenaria y vectores tangente y normal

Se define el vector tangente [math]\vec t (t)[/math] como el campo vectorial

[math]\vec t (t)=\dfrac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\dfrac{\vec i + senh(\dfrac{t}{A})\vec j}{cosh(\dfrac{t}{A})}=sech(\dfrac{t}{A})\vec i+tanh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

Y se define el vector normal [math]\vec n (t)[/math] como el campo vectorial

[math]\vec n (t)=\dfrac{(-y'(t)\vec i +x'(t)\vec j)}{|γ'(t)|}=\dfrac{(-senh(\dfrac{t}{A})\vec i+\vec j}{cosh(\dfrac{t}{A})}=-tanh(\dfrac{t}{A})\vec i+sech(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]

%Nuestra catenaria modelo
A = 3;
t = linspace(-1,1,1000);
x = t;
y = A*cosh(t/A);
hold on
plot(x,y,'Color',[0.3 0.3 0.8],'linewidth',3)
%Cálculos
t2 = linspace(-1,1,14);
x1 = t2;
y1 = A*cosh(t2/A);
dx = 1;
dy = sinh(t2/A);
norm_rp = cosh(t2/A);
%Campo vectorial del vector tangente
Tx = dx ./ norm_rp;
Ty = dy ./ norm_rp;
%Campo vectorial del vector normal
Nx = -dy ./ norm_rp;
Ny = dx ./ norm_rp;
% Representación de los vectores
escala = 0.5;
quiver(x1,y1, escala*Tx, escala*Ty, 'Color',[0.9 0.35 0.25],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2);
quiver(x1,y1, escala*Nx, escala*Ny, 'Color',[0.25 0.75 0.75],'LineWidth',1,'MaxHeadSize',2);
legend('Catenaria','Tangente T(t)','Normal N(t)')
grid on
axis equal
title('Catenaria y vectores tangente y normal')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
hold off