Prototipo 101
Contenido
- 1 Introducción y dibujo de la curva de la catenaria
- 2 Vectores velocidad [math]γ'(t)[/math] y aceleración [math]γ"(t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva
- 3 Cálculo de la longitud de la curva
- 4 Cálculo de los vectores tangente [math]\vec t (t)[/math] y normal [math]\vec n (t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva
- 5 Cálculo de la curvatura [math]κ(t)[/math]. Dibujo de su gráfica
- 6 Cálculo del radio [math]R[/math] y centro [math]Q[/math] de la circunferencia osculatriz en el punto [math]P[/math]. Dibujo de la circunferencia osculatriz junto a la curva
- 7 Información relevante sobre la catenaria
- 8 Fotos de estructuras civiles en las que se haya usado la curva
- 9 Comparación de la catenaria con una parábola. Explicación de su similitud
- 10 Representación de la superficie de revolución de la curva: Catenoide. Información e imágenes de estructuras civiles donde se encuentra dicha superficie
- 11 Descripción de como se distribuye la densidad a lo largo de la superficie. Cálculo de la masa
1 Introducción y dibujo de la curva de la catenaria
A lo largo de este artículo científico se realizará un estudio matemático de la curva de la catenaria apoyado del software científico de visualización MATLAB. La catenaria da nombre a la curvatura que describe un cable suspendido por sus dos extremos y condicionada únicamente por una fuerza gravitatoria uniforme. Esta curva natural tiene unas propiedades físicas interesantes por su eficiencia energética y un diseño estético. En este documento se analizan sus características fundamentales de interés matemático y físico y se muestra cómo los ingenieros han hecho uso de esta curva en sus proyectos.
La ecuación en el plano de la curva de la catenaria es [math]y=Acosh(\dfrac{x}{A})[/math] en la que el valor de A marca el vértice de la curva para [math]x=0[/math].
La parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas en función del tiempo [math]t[/math] es la siguiente:
[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]
Esta parametrización define una curva específica que será constante en todo el artículo.
%Fijamos el parámetro A (Vértice de la catenaria)
A=3;
%Vector temporal desde -1 hasta 1 dividido en 1000 instantes
t=linspace(-1,1,1000);
%Definimos la parametrización de la curva en coordenadas cartesianas
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujamos
plot(x,y)
grid on
axis equal
title('Visualización de la curva de la catenaria')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
2 Vectores velocidad [math]γ'(t)[/math] y aceleración [math]γ"(t)[/math]. Dibujo de los vectores junto a la curva
Partimos de la parametrización la curva curva en coordenadas cartesianas
[math]γ(t)=(x(t),y(t))=(t,Acosh(\dfrac{t}{A}))[/math] ; [math]tє(-1,1)[/math] ; [math]A=3[/math]
Definimos su velocidad como el campo vectorial resultante de derivar el vector posición respecto del tiempo
[math]γ'(t)=\vec i + sinh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]
Definimos la aceleración como el campo vectorial resultante de derivar por segunda vez el vector posición respecto del tiempo
[math]γ"(t)=\dfrac{t}{A}cosh(\dfrac{t}{A})\vec j[/math]
%Nuestra catenaria modelo
A=3;
t=linspace(-1,1,1000);
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Definimos el campo vectorial de la velocidad
vx=ones(size(t));
vy=sinh(t/A);
%Definimos el campo vectorial de la aceleración
ax=zeros(size(t));
ay=(1/A)*cosh(t/A);
%Segundo vector temporal
t2=1:120:length(t);
%Dibujamos
hold on
plot(x,y,'linewidth',3)
quiver(x(t2),y(t2),vx(t2),vy(t2),'Color',[1 0.9 0.2],'LineWidth',1.5,'MaxHeadSize',2)
quiver(x(t2),y(t2),ax(t2),ay(t2),'Color',[1 0.5 0.1],'LineWidth',1.5,'MaxHeadSize',2)
legend('Catenaria','Velocidad V(t)','Aceleración A(t)')
grid on
axis equal
title('Catenaria, vector velocidad y vector aceleración')
xlabel('x(t)')
ylabel('y(t)')
hold off
3 Cálculo de la longitud de la curva
Para calcular la longitud de la curva se puede hacer uso del vector velocidad definiéndola de la siguiente forma
[math]l(γ)=\int_{a}^{b} |(γ'(t)| dt[/math]
