La Catenaria (Grupo 19)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 19
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Pedro Harguindey Domínguez Sara Gozalo Jaber Álvaro Espinosa Varadé Lucía de la Riva Azpiri
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se denomina catenaria a la curva de equilibrio que adopta un hilo flexible y de densidad homogénea, al estar sujeto exclusivamente a la acción de un campo gravitatorio uniforme y con sus extremos fijos. En términos más precisos, la catenaria no constituye una curva única, sino una familia de curvas. Además, cada punto de la catenaria cumple con el principio de equilibrio estático para las componentes horizontales de fuerza, resultando en una cadena estable libre de desplazamientos laterales.

Asimismo, Galileo creyó que la catenaria era una parábola por su forma parecida pero ambas curvas son diferentes; pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas. Estas son sus fórmulas:

La a de la fórmula de la catenaria indica el radio de curvatura en el vértice de la catenaria, es decir, en el punto más bajo. Como se puede ver en la imagen, la curva va cambiando según cambia la a, en este trabajo se va a usar a=3.

Taq Kasra Irak

1 Dibujo de la curva

Representación de la catenaria

% Definir la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
  % Dibujar la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 2,'Color','g');
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 3cosh(t/3))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;

2 Vector velocidad y vector aceleración

2.1 ¿Qué representan?

El vector velocidad describe cómo va cambiando la posición del punto que recorre la catenaria indicando la rapidez con la que avanza a lo largo de la curva, siendo más grande en las zonas donde la pendiente es mayor. Por su parte, el vector aceleración muestra cómo varía esa velocidad y apunta hacia arriba porque la función hiperbólica crece con rapidez en ambas direcciones del parámetro t.

2.2 Ecuaciones de velocidad y aceleración

La curva está parametrizada en coordenadas cartesianas como: con A>0 y A=3, la parametrización de la curva es Derivando esta función respecto del tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad, volviendo a derivar respecto del tiempo se obtiene la ecuación de la aceleración.

2.2.1 Ecuación de la velocidad:

2.2.2 Ecuación de la aceleración:

2.3 Grafica velocidad aceleración

Representación velocidad y aceleración

% Definir la parametrización
a=3;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "g");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva es la distancia real medida a lo largo del recorrido entre dos puntos específicos. Matemáticamente, se define como la integral del módulo (o norma) del vector velocidad con respecto a un parámetro, t. Para una catenaria parametrizada, la longitud de la curva se calcula como la integral definida del módulo de la velocidad en el intervalo t ∈ (-1, 1). En el ámbito de la ingeniería, esta métrica es fundamental para el cálculo de materiales, ya que permite determinar con precisión la cantidad de recursos necesaria para cubrir una determinada distancia o trayectoria curva.

3.1 Código Matlab de la longitud de la curva

% Parámetros iniciales
a = -1; 
b = 1; 
n = 100; % Número de subintervalos
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t/3).^2);  % Integrando (longitud de catenaria)

% Paso del intervalo
h = (b - a) / n;

% Puntos del método del rectángulo (lado izquierdo)
X = linspace(a, b-h, n);

% Cálculo numérico de la integral
valinic = sum(f(X));
integral_rect = h * valinic;

% Gráfica de la función y los rectángulos
t_valores = linspace(a, b, 500);
y_valores = f(t_valores);

figure;
hold on;
plot(t_valores, y_valores, 'b', 'LineWidth', 2);

% Dibujar rectángulos
for i = 1:n
    x_rect_plot = [X(i), X(i), X(i)+h, X(i)+h];
    y_rect_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
    fill(x_rect_plot, y_rect_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.3, 'EdgeColor', 'r');
end

title('Aproximación de la integral con el método del rectángulo');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectángulos');
hold off;

% Resultado
fprintf('La aproximación de la integral con el método del rectángulo es: %.6f\n', integral_rect);

5 Vector tangente

%formula catenaria
t=linspace(-1,1,20);
 x=t;
 y=3*cosh(t/3);
 % Vectores tangentes unitarios interiores
  t1i=(1)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  t2i=sinh(t/3)./(sqrt(1+(sinh(t/3)).^2));
  % Vectores tangentes unitarios 
  hold on
  plot(x,y,'LineWidth',2, 'Color','c');
  quiver(x,y,t1i,t2i,'Color','m');
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vector tangente unitario')
 legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on