La Catenaria (Grupo 19)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La catenaria. Grupo 19 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores |
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Se denomina catenaria a la curva de equilibrio que adopta un hilo flexible y de densidad homogénea, al estar sujeto exclusivamente a la acción de un campo gravitatorio uniforme y con sus extremos fijos. En términos más precisos, la catenaria no constituye una curva única, sino una familia de curvas. Además, cada punto de la catenaria cumple con el principio de equilibrio estático para las componentes horizontales de fuerza, resultando en una cadena estable libre de desplazamientos laterales.
Asimismo, Galileo creyó que la catenaria era una parábola por su forma parecida pero ambas curvas son diferentes; pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas. Estas son sus fórmulas:
La a de la fórmula de la catenaria indica el radio de curvatura en el vértice de la catenaria, es decir, en el punto más bajo. Como se puede ver en la imagen, la curva va cambiando según cambia la a, en este trabajo se va a usar a=3.
Contenido
1 Dibujo de la curva
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = 3*cosh(t/3);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2,'Color','g');
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 3cosh(t/3))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
2 Vector velocidad y vector aceleración
2.1 ¿Qué representan?
El vector velocidad describe cómo va cambiando la posición del punto que recorre la catenaria indicando la rapidez con la que avanza a lo largo de la curva, siendo más grande en las zonas donde la pendiente es mayor. Por su parte, el vector aceleración muestra cómo varía esa velocidad y apunta hacia arriba porque la función hiperbólica crece con rapidez en ambas direcciones del parámetro t.
2.2 Ecuaciones de velocidad y aceleración
La curva está parametrizada en coordenadas cartesianas como:
con A>0 y A=3, la parametrización de la curva es
Derivando esta función respecto del tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad, volviendo a derivar respecto del tiempo se obtiene la ecuación de la aceleración.
2.2.1 Ecuación de la velocidad:
2.2.2 Ecuación de la aceleración:
2.3 Grafica velocidad aceleración
% Definir la parametrización
a=3;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "g");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
axis("equal")
3 Longitud de la curva
La longitud de la curva es la distancia real medida a lo largo del recorrido entre dos puntos específicos. Matemáticamente, se define como la integral del módulo (o norma) del vector velocidad con respecto a un parámetro, t. Para una catenaria parametrizada, la longitud de la curva se calcula como la integral definida del módulo de la velocidad en el intervalo t ∈ (-1, 1). En el ámbito de la ingeniería, esta métrica es fundamental para el cálculo de materiales, ya que permite determinar con precisión la cantidad de recursos necesaria para cubrir una determinada distancia o trayectoria curva.
L=∫ba|γ′(t)|=∫bax´(t)2+y´(t)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dt=∫1−11+(sinh2(t2))‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√dt
