La catenaria (grupo 13)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 13
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

Representación de la catenaria

1.1 Código

clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');

2 Velocidad y aceleración

Representación de la catenaria

2.1 Código

n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')

3 Longitud de la curva

Longitud de la curva en el intervalo [-1,1]

La longitud de la curva es la medida de la distancia real recorrida. La longitud de la catenaria se define como la integral definida del módulo de la velocidad, entre los valores que toma la t, en este caso [math] t\in (-1,1)[/math].
Como hemos observado previamente [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A}))[/math]. En este trabajo suponemos que A=3

[math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{A})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{A})dt = 2Asinh(\frac{1}{A})= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.03724 [/math]

La longitud de la curva (t, Acosh(t/A)) siendo A=3 y [math] t\in (-1,1)[/math] es de 2.03724 unidades.

3.1 Código de Matlab

clear,clc;

%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) (cosh(t/A)).^2;
suma=0;

%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);

%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
    h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
    xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
    ymed=f(xmed);
    area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
    suma=suma+area;

    %dibujo de los rectángulos
    x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
    y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
    plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end

hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')

%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)

6 Comparación con la parábola

Una vez representada la gráfica de la catenaria es normal preguntarse por las similitudes que puede llegar a tener con la parábola, puesto que a simple vista se asemejan. Ahora bien, visualizar las diferencias es sencillo si se representan en una misma gráfica. Por ejemplo, dada la parábola de ecuación [math]y = A+\frac{x^2}{A}[/math] y la catenaria de parametrización [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))[/math], para A=3 y t∈(-1,1) se puede observar en la imagen que ambas tienen forma de U, pero tienen distintas curvaturas, siendo la parábola más cerrada que la catenaria.

Comparación con la parábola

clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);

%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);


%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );

title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');

7 El catenoide

Representación en R3

clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
phi=linspace(0, 2*pi, 100);

%Mallado
[Mt,Mphi]=meshgrid(t, phi);

%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mphi);
Y=R.*sin(Mphi);
Z=Mt;

%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');