Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica. Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 MATLAB: Códigos y gráficas

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas: 1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor. 2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

1.2.1 Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D 

clear;clc 
figure; 
hold on; 

%Vectores 
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u 
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v 

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)  
v_fixed = 1; 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
x2_u = u .* v_fixed; 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2); 

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)  
u_fixed = 1; 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
x2_v = (u_fixed) .* v; 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2); 

%Edición de la gráfica 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
xlabel('Eje X'); 
ylabel('Eje Y'); 
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'}); 
grid on;

1.2.2 Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores

% Rango de variables 
u = linspace(0, 2, 10); 
v = linspace(0, 2, 10); 

% Creación de mallas  
[U, V] = meshgrid(u, v); 

% Ajuste del origen común 
u_const = 0;  
v_const = 0;  

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común) 
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo 
x2_f1 = u .* V; 
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3 

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común) 
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo 
x2_f2 = U .* v; 
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3 

% Crear una figura combinada 
figure; 

% Superficie de línea coordenada de u 
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2); 
hold on; 

% Superficie de línea coordenada de v 
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2); 

% figura combinada 
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
axis equal; 
grid on; 
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v'); 
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad [math] g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} [/math]

[math]h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math]h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}[/math]

[math]h_z = |\vec{g_z}| = 1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

[math] e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}[/math]

Se comprueba que [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Como se cumple que [math] e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0[/math]; [math] e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0[/math] y que [math] |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1[/math] se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

Para la representación gráfica de los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas. Los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]