La Clotoide (Grupo 24)

Discusión:La Clotoide (Grupo 24) 1 Introducción. De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva. Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil. En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva. La expresión matemática de la clotoide es:

γ(t)=(x(t),y(t))=(∫t0cos(s22)ds,∫t0sin(s22)ds),t∈(0,5)

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide clear; clc; clf; % Definimos los parámetros

L = 5; n = 500; t = linspace(0, L, n); % Definimos los vectores para las coordenadas x y y

x = zeros(1, n); y = zeros(1, n); % Definimos las funciones

f1= @(s) cos(s.^2/2); f2= @(s) sin(s.^2/2); % Aproximamos la integral usando el método del rectángulo for i = 2:n

  % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
  x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
  
  % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
  y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));

end

% Representamos gráficamente la curva figure; plot(x, y); axis equal; xlabel('eje x'); ylabel('eje y'); title('Curva de la clotoide'); grid on;

3 Velocidad y aceleración. Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad γ˙

y aceleración γ¨ γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

γ′′→=−t⋅sin(t22)i⃗ +t⋅cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide % Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad) dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t) dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración) ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t) ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul) for i = 1:5:n

  % Vectores de velocidad
  quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
  
  % Vectores de aceleración
  quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);

end

% Etiquetas y configuración de la gráfica title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración'); legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best'); hold off; 4 Longitud de la curva.

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

L(γ′(t))=∫t0|γ′(t)|dt

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

γ′→=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗

Cuyo módulo es:

|γ'(t)|=cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√=1–√=1

Por tanto la longitud es:

L(γ)=∫50cos2(t22)+sin2(t22)−−−−−−−−−−−−−−−−√dt=∫501dt=5−0=5

5 Vectores tangente y normal. Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

t⃗ (t)=γ′(t)|γ′(t)|=cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1

n⃗ (t)=γ′(t)×γ′′(t)|γ′(t)×γ′′(t)|×cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ 1=−sin(t22)i⃗ +cos(t22)j⃗

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide % Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) tx = cos(t.^2/2); ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t) nx = -sin(t.^2/2); ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul) for i = 1:5:n

  % Vector tangente
  quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
  
  % Vector normal
  quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);

end

% Etiquetas y configuración de la gráfica title('Curva, Vectores tangente y normal'); legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best'); hold off; 6 Curvatura k(t). La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

k(t)=|γ′(t)×γ′′(t)||γ′(t)|3=∣∣(cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ )×(−tsin(t22)i⃗ +tcos(t22)j⃗ )∣∣∣∣cos(t22)i⃗ +sin(t22)j⃗ ∣∣3=t

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura % Definimos el parámetro t

t=linspace(0,5,50); % Definimos la curvatura k(t)

k=t; % Representamos la gráfica de la curvatura

figure; plot(k,t); title('Curvatura'); xlabel('Eje x'); ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz. La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto. Dada esta definición y dado P= γ(2) , es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:

R(t)=1κ(t)

Q(t)=γ(t)+1κ(t)n¯(t)

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

R(2)=12

Q(2)=⎧⎩⎨Qx(2)=∫20cos(s22)ds−(sin(2)2) Qy(2)=∫20sin(s22)ds+(cos(2)2)

Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva %Calculamos las integrales de la curva para t=2 X1=integral(f1,0,2); Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia Qx=X1-(sin(2))/2; Qy=Y1+(cos(2))/2; theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t): R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t): Cx=Qx+R.*cos(theta); Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz: hold on plot(x,y,'r') plot(Cx,Cy,'b') title('Curva y circunferencia osculatriz') axis equal xlabel('Eje x') ylabel('Eje y') hold off 8 Propiedades para la ingeniería. La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Curva circuito Silverstone

Puente Vasco da Gama (Portugal)

Autopista del Sol (México)

Viaducto de Brusio (Suiza)

10 Superficie Reglada. Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))=(tcos(t),tsin(t),t),t∈(2π,6π) Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector e¯p , se hace lo siguiente: 1) Se parametriza la curva segun v:

γ(v)=(x1(v),x2(v),x3(v))=(vcos(v),vsin(v),v),v∈(2π,6π)

2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector eρ→

de cilíndricas a cartesianas:

⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜costsint0−sintcost0001⎞⎠⎟

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜costsint0⎞⎠⎟

Por lo tanto w⃗ (v)=cosvi¯+sinvj¯

3) Sustituir todos los valores en la formula ϕ(u,v)=γ(v)+u⋅w¯(v)

ϕ(u,v)=(vcosv+u⋅cosv)i¯+(vsinv+u⋅sinv)j¯+vk¯¯¯

Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica clear; clc; clf; %Definimos los parámetros u=(0:0.01:1); v=(2.*pi:0.01:6.*pi); [MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU; th=MV; z=MV; %Transformamos las coordenadas en cartesianas x=r.*cos(th); y=r.*sin(th); z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica surf(x,y,z); title('Helicoide cónico'); shading flat;

A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Torre espiral (Dinamarca)

Helicoide de Caracas (Venezuela)