Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas parabólicas (G17) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Marta Galán Jimena Connold Paula Jimenez Mar Marín |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Introducción Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica. Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:
- Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
[math]
\gamma_z(w): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = w
\end{cases}
[/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))
2 Matrices de cambio de base
Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).
[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:
[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]
