Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía de Benito Valdueza
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

2 Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo

2.1 Planteamiento

Consideremos una porción de la Tierra de longitud [math]L[/math], en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:

[math] \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}[/math],

donde [math]\alpha[/math] es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie ([math] x=0 [/math]) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:

[math] \frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) [/math],

donde [math]h[/math] representa el coeficiente de transferencia del calor y [math]k[/math] la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.

[math] \frac{du}{dx}(L,t)=0 [/math]

donde [math]h[/math] representa el coeficiente de transferencia del calor y [math]k[/math] la conductividad térmica.

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,

[math] u(x,0)=u_0 [/math]

2.2 Solución

2.2.1 Solución estacionaria

Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:

[math] v(x) = u_{\text{amb}} [/math]

Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

2.2.2 Solución mediante separación de variables

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es

[math] u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t} [/math]

con [math]\lambda_n=\alpha \beta_n^2 [/math], dónde [math]\beta_n[/math] cumple que [math]\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}[/math]. En cuanto a los coeficientes de Fourier,

[math]A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right) [/math]

[math]B_n= 0 [/math]

De este modo, la solución quedaría como:

[math] u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t} [/math]

3 Códigos

Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

Código MATLAB

Representación gráfica

% Parámetros del problema L = 1000; % Longitud del océano (en metros) alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s) h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor k = 0.6; % Conductividad térmica del agua u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius) u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius) % Dominio espacial y temporal Nx = 50; % Número de puntos en x Nt = 100; % Número de pasos en t x = linspace(0, L, Nx); t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos) % Número de términos en la serie N_terms = 5; % Solución de la serie de Fourier u = zeros(Nx, Nt); for n = 1:N_terms beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); % for i = 1:Nx for j = 1:Nt u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j)); end end end % Solución u = u_amb - u; % Graficar evolución de la temperatura figure; [X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none'); xlabel('Distancia (m)'); ylabel('Tiempo (horas)'); zlabel('Temperatura (°C)'); title('Evolución de la temperatura en el océano'); colorbar; view(3);