Ecuación del calor (Grupo GIXP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GIXP
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao Paula León
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación Del Calor

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y el calor específico ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

3.1 Ley de Fourier

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

[math] \vec{q} = - \kappa \nabla u. [/math]

3.2 Corolario del Principio de Conservación de la Energía

La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.

[math] \frac{d}{dt} \left( \int_{V} \rho e(x,t) \, dV \right) = \int_{\partial V} \vec{q} \cdot \vec{n} \, ds + \int_{V} \rho f \, dV [/math]

4 Planteamiento del sistema de EDP con condiciones Dirichlet en 1D

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

[math] u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math]

donde: \( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier. \( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos: [math] \alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math] donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t \gt 0 \\ u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\ u(0,t) = u_1, & t \gt 0 \\ u(L,t) = u_2, & t \gt 0 \end{cases} [/math]

5 Resolvamos la ecuación aplicando separación de variables

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

[math] v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x) [/math]

Integrando dos veces:

[math] v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2 [/math]

Imponiendo las condiciones de contorno:

[math] \begin{cases} v(0) = u_1 \\ v(L) = u_2 \end{cases} [/math]

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

[math] w_t - \alpha w_{xx} = 0 [/math] con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t} [/math]

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

[math] w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) [/math]

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

[math] c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx [/math]

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)