Ecuación del calor (PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Introducción

La ecuación del calor clásica es una herramienta crucial para los ingenieros y físicos. Ahora bien, esta ecuación plantea un serio problema conocido como la paradoja de la velocidad de propagación. En este trabajo estudiaremos estefenómeno y plantearemos una solución, apoyándonos en un ejemplo concreto.

2 . Problema concreto

Consideramos el siguiente problema: Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0, 1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. En el extremo derecho se consigue mantener la temperatura a 10°C mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de 1°C. Además, la temperatura en el instante inicial viene dada por la función [math] u_0 (x)= 10-10 \cdot 1_{[1/3,2/3]}(x)[/math] . Así, el sistema que modeliza este problema es el siguiente:

[math] \begin{cases} u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t\gt0 \\ u(0,t)=10 & t\gt0 \\ u(1,t)=1 & t\gt0 \\ u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1] \end{cases} [/math]

Su solución estacionaria es:

[math] v(x)=9x+1 [/math]

y la solución general es:

[math] u(x,t)= 9x+1+ \sum_{n=1}^{\infty}b_n sen(n \pi x)e^{n^2\pi ^2 t}[/math],

donde [math] b_n [/math] es una constante de la forma:

AQUI VEMOS QUE HACEMOS CON BN

Si visualizamos estas soluciones con [math] t \in [0,1] [/math] y [math] x \in [0,1] [/math]:

Solución de la ecuación del calor

Solución de la ecuación del calor

Convergencia a la solución estacionaria

Observamos que la solución u comienza en la temperatura correcta (salvo por oscilaciones) y para un tiempo suficientemente pequeño se aproxima considerablemente a la solución de equilibrio. Además, en el siguiente apartado se comentará un detalle de la solución que se debe estudiar en mayor profundidad.

syms n
syms x
syms t
g=sin(n*pi*x);
f1=(-9*x-9)*g;
f2=(-9*x+9)*g;
f3=(-9*x+1)*g;
f4=(-9*x-1)*g;

F1=int(f1,-1,-2/3);
F2=int(f3,-2/3,-1/3);
F3=int(f1,-1/3,0);
F4=int(f2,0,1/3);
F5=int(f4,1/3,2/3);
F6=int(f2,2/3,1);

F(n)=F1+F2+F3+F4+F5+F6;

sol=9*x+1;
k=20; %numero de elementos
for i=1:k
    sol=sol+F(i)*sin(i*pi*x)*exp(-(i^2)*pi^2*t);
end
u(x,t)=sol;
[X, T] = meshgrid(linspace(0,1,50), linspace(0,1,50));
Z=u(X,T);
Z=double(Z);
figure
surf(X, T, Z) 
xlabel('x'), ylabel('t'), zlabel('u(x,t)')
title('Gráfico de la solución')
colorbar
shading interp 

% Definir parámetros
xv = linspace(0,1,100); % Dominio de x (100 puntos entre 0 y 1)
t_values = linspace(0,0.1,60); % Valores de t para cada frame (60 frames)

% Crear la figura
fig = figure;
v = VideoWriter('animacion_ftejercicio2.mp4', 'MPEG-4'); % Guardar animación en video
v.FrameRate = 5; % FPS
open(v);

for t = t_values
    y = u(xv,t); % Evaluar la función en x para el tiempo t
    plot(xv, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Graficar en 1D
    ylim([0, 12]); % Mantener el mismo rango en y
    xlabel('x');
    ylabel('u(x,t)');
    title(sprintf('t = %.2f', t)); % Mostrar el tiempo actual
    grid on;
    drawnow;
    
    % Capturar frame para el video
    frame = getframe(fig);
    writeVideo(v, frame);
end

close(v); % Cerrar archivo de video
close(fig); % Cerrar la figura

disp('Animación guardada como animacion_ft.mp4');

3 . Paradoja de la velocidad de propagación

Solución para t=0

Observamos que, en nuestra solución, para [math]t\gt0[/math] la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, en [math]t=0[/math] observamos que para el intervalo [math] x \in [1/3,2/3][/math] la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor [math]t\gt0[/math] arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.

3.1 . Ecuación de Cattaneo-Vernotte

Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:

[math]q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u[/math]

Añadimos el factor [math] \tau \frac{\partial q}{\partial t} [/math] a la Ley de Fourier, donde [math]\tau[/math] se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \alpha \Delta u [/math]

donde [math] \alpha [/math] es la difusividad térmica. En nuestro caso, [math] \alpha=1 [/math]

[math] \begin{cases} \tau u_{tt}+u_t-u_{xx} = 0 & x \in [0,1], t\gt0 \\ u(0,t)=10 & t\gt0 \\ u(1,t)=1 & t\gt0 \\ u(x,0)=u_0(x) & x \in [0,1] u_t(x,0)=0 & x \in [0,1] \end{cases} [/math]

Esta nueva ecuación garantiza que la velocidad de propagación del calor se produzca con velocidad finita, por lo que se utiliza en modelos donde el efecto de propagación instantánea tiene importancia.

Homogeneizamos el problema con el cambio de variable [math] w(t,x)=u(t,x) -v(x)[/math].Si resolvemos esta ecuación por separación de variables, tenemos las siguientes soluciones para la función espacial [math]X(x)[/math] y temporal [math] T(t)[/math]:

La ecuación espacial nos con estas condiciones nos proporciona la colección de soluciones [math] X_{n}(x)=A_{n}sen(n\pi x) [/math]

Para la ecuación temporal, tenemos la solución [math] T_{n}(t)=e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) [/math], con [math] \omega = \frac{\sqrt{4\tau n^{2}\pi^{2}-1}}{2\tau} [/math]

Por tanto, la solución de la ecuación de Cattaneo-Vernotte en nuestro caso es:

[math] u(x,t) = 1+9x+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}e^{\frac{-t}{2\tau}}(c_{1}cos(\omega t) + c_{2}sen((\omega t)) \cdot sen(n\pi x) [/math]

4 . Referencias

• Amin Moosaie. Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions ([1]).

• Francisco R. Villatoro. La ciencia de la mula Francis: La velocidad de la propagación del calor, entre la paradoja y la entropía([2])