Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo MAMBD
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

[math]u_t-u_{xx}=0.[/math]

donde [math]u(x,t)[/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

[math]G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},[/math]

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

2 Mensaje secreto en la ecuación del calor

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

[math]u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll} 5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\ 0, & \text{en otro caso} \end{array}\right. ,[/math]

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje [math]x[/math] con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación [math]u_t-u_{xx}=0[/math]. Su solución viene dada por la convolución:

[math]u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.[/math]

Dibujando la solución para diferentes instantes de tiempo, observamos lo siguiente:

[DIBUJO]

Conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

3 Cambio en las condiciones iniciales

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos [math]u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}[/math]. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.