Ecuación del calor (PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Paradoja de la velocidad de propagación

Observamos que, en nuestra solución, para [math]t\gt0[/math] la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, para [math]t=0[/math] observamos que para el intervalo [math] x \in [1/3,2/3][/math] la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor [math]t\gt0[/math] arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.

1.1 . Ecuación de Cattaneo-Vernotte

Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:

[math]q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u[/math]

Añadimos el factor [math] \tau \frac{\partial q}{\partial t} [/math] a la Ley de Fourier, donde [math]\tau[/math] se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t} = \alpha \nabla u [/math]

donde [math] \alpha [/math] es la difusividad térmica.