Ecuación del calor (Grupo MAMBD))
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor. Grupo MAMBD |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
La ecuación del calor es un modelo matemático fundamental que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:
donde [math]u(x,t)[/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición.
Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:
[math]G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},[/math]
permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada y e interpretar los resultados.
2 no sé como llamar a esta sección
Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial
[math]u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll} 5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\ 0, & \text{en otro caso} \end{array}\right.[/math] es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje [math]x[/math] con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación del calor. Por ser la barra infinita, su solución viene dada por la convolución:
[math]u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.[/math]
