Ecuación del calor (PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Problema

Se tiene la ecuación de difusión:

[math] u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t \gt 0 [/math]

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

[math] \begin{aligned} u(0,t) &= 1, \quad &t \gt 0 \\ u(1,t) &= 10, \quad &t \gt 0 \\ u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1) \end{aligned} [/math]

2 Cálculo de la solución estacionaria

Para encontrar la solución estacionaria [math] v(x) [/math], se asume que cuando [math] t \to \infty [/math], la solución [math] u(x,t) [/math] se estabiliza y tiende a una función [math] v(x) [/math] que satisface:

[math] v''(x) = 0 [/math]

con las condiciones de frontera:

[math] v(0) = 1 [/math] [math] v(1) = 10 [/math]

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos [math] v(x) = ax + b [/math]. Sustituyendo las condiciones de frontera:

[math] v(0) = b = 1 [/math] [math] v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 [/math]

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

[math] v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) [/math]

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

3 Resolviendo la ecuación homogénea

Se introduce el cambio de variable:

[math] w(x,t) = u(x,t) - v(x) [/math]

De esta manera, [math] w(x,t) [/math] satisface la ecuación de calor homogénea:

[math] w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t \gt 0 [/math]

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

[math] w(0,t) = 0, \quad t \gt 0 [/math] [math] w(1,t) = 0, \quad t \gt 0 [/math] [math] w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) [/math]

4 Resolviendo por separación de variables

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para [math] w(x,t) [/math]:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]

Donde los coeficientes de Fourier son:

[math] B_n = \frac{18}{n\pi} [/math]

Finalmente, la solución general para [math] u(x,t) [/math] es:

[math] u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]

5 Nota sobre la función inicial

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

[math] \tilde{g}(x) = \begin{cases} -9x + 9, & x \in (0,1) \\ -9x - 9, & x \in (-1,0) \end{cases} [/math]

Dado que [math] \tilde{g}(x) [/math] es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en [math] x=0 [/math], asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

[math] u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]