Ecuación del calor (PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet

2.1 Planteamiento del Problema

Necesitamos resolver el siguiente sistema:

• $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
• $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
• $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
• $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$

2.2 Solución Estacionaria

La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:

• $v(x) = 0$
• $v(0) = 1$
• $v(1) = 10$

Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$ De las condiciones de contorno:

• $v(0) = b = 1$
• $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$

Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$

2.3 Cambio de Variable

Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:

• $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
• $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
• $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
• $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$

2.4 Solución por Separación de Variables

Resolvemos por separación de variables, obteniendo: $w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$

Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$

Por tanto, la solución completa es: $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$