Ecuación del calor (PPAD)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Problema
Se tiene la ecuación de difusión:
\[ u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \]
con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:
\[ u(0,t) = 1, \quad t > 0 \] \[ u(1,t) = 10, \quad t > 0 \] \[ u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) \]
2 Cálculo de la solución estacionaria
Para encontrar la solución estacionaria \( v(x) \), se asume que cuando \( t \to \infty \), la solución \( u(x,t) \) se estabiliza y tiende a una función \( v(x) \) que satisface:
\[ v(x) = 0 \] \[ v(0) = 1 \] \[ v(1) = 10 \]
Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos \( v(x) = ax + b \). Sustituyendo las condiciones de frontera:
- \( v(0) = b = 1 \)
- \( v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 \)
Por lo tanto, la solución estacionaria es:
\[ v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) \]
Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.
3 Resolviendo la ecuación homogénea
Se introduce el cambio de variable:
\[ w(x,t) = u(x,t) - v(x) \]
De esta manera, \( w(x,t) \) satisface la ecuación de calor homogénea:
\[ w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] \[ w(0,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(1,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) \]
4 Resolviendo por separación de variables
Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para \( w(x,t) \):
\[ w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \]
Donde los coeficientes de Fourier son:
\[ B_n = \frac{18}{n\pi} \]
Finalmente, la solución general para \( u(x,t) \) es:
\[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \]
5 Nota sobre la función inicial
Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:
\[ \tilde{g}(x) = \begin{cases} -9x + 9, & x \in (0,1) \\ -9x - 9, & x \in (-1,0) \end{cases} \]
Dado que \( \tilde{g}(x) \) es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en \( x=0 \), asegurando la convergencia de la solución.
Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:
\[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \]
Este resultado describe la evolución de la temperatura a lo largo de la barra en función del tiempo.
