Ecuación del calor (PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Planteamiento del problema

Se tiene el siguiente sistema:

1.1 Condiciones iniciales y de frontera

• Ecuación del calor:

 : \( u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)

• Condiciones de frontera:

 : \( u(0,t) = 1 \quad t > 0 \)
 : \( u(1,t) = 10 \quad t > 0 \)

• Condición inicial:

 : \( u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1) \)

2 Solución estacionaria

Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de:

• \( v(x) = 0 \)
• \( v(0) = 1 \)
• \( v(1) = 10 \)

Resolviendo:

• \( v(x) = ax + b \)

Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces:

• \( v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1) \)

3 Resolución de la ecuación homogénea

Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda:

• \( w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)
• \( w(0,t) = 0 \quad t > 0 \)
• \( w(1,t) = 0 \quad t > 0 \)
• \( w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1) \)

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

• \( w(x,t) = \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)

Por lo que la solución completa es:

• \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)

Calculando \( B_n \):

• \( B_n = \frac{18}{n \pi} \)

Por lo que la solución final queda expresada como:

• \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)