Ecuación del calor (Grupo GIXP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GIXP
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao Paula León
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación Del Calor

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y la capacidad calorífica ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

3.1 Ley de Fourier

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

[math] \vec{q} = - \kappa \nabla u. [/math]