Series de Fourier (Grupo PPAD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Introducción

Se define el espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math] como:

[math] L^2(a,b) = \left\{ f(x)| \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \lt \infty \right\} [/math],

donde [math] a,b \in \mathbb{R} [/math] y [math] a \lt b [/math]. [math]L^2(a,b)[/math] es un espacio vectorial con producto escalar asociado:

[math] \left\langle f,g \right\rangle_{L^{2}}=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx, \forall f,g \in L^{2} [/math],

Esta construcción del espacio [math] L^{2} [/math] motiva plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

2 . Base trigonométrica

Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio [math]L^2(-\pi,\pi)[/math]. En éste se define la base numerable [math] \beta [/math] dada por los siguientes elementos:

[math] \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(n x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math],

que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

Término constante de la base

Primeros 10 elementos del coseno de la base

Primeros 10 elementos del seno de la base

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definir el rango de x
x = np.linspace(-1, 1, 400)

# Graficar el primer término de la base (constante 1/2)
plt.plot(x, np.full_like(x, 1/2), label=r'$\frac{1}{2}$', linewidth=2)

# Graficar los términos cos(nπx) y sin(nπx) para n = 1, ..., 10
for n in range(1, 11):
    plt.plot(x, np.cos(n * np.pi * x), label=fr'$\cos({n}\pi x)$')
    plt.plot(x, np.sin(n * np.pi * x), label=fr'$\sin({n}\pi x)$')

# Configurar la gráfica
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
plt.legend(loc='upper right', fontsize='x-small', ncol=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Valor de la función')
plt.title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica')
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definir el rango de x
x = np.linspace(-1, 1, 400)

# Crear una figura con 3 subgráficos
fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(6, 12))

# Graficar el primer término de la base (constante 1/2)
axes[0].plot(x, np.full_like(x, 1/2), label=r'$\frac{1}{2}$', linewidth=2)
axes[0].set_title('Término constante')
axes[0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
axes[0].legend()

# Graficar los términos cos(nπx) para n = 1, ..., 10
for n in range(1, 11):
    axes[1].plot(x, np.cos(n * np.pi * x), label=fr'$\cos({n}\pi x)$', linewidth=2)
axes[1].set_title('Funciones coseno')
axes[1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
axes[1].legend(fontsize='x-small', ncol=2)

# Graficar los términos sin(nπx) para n = 1, ..., 10
for n in range(1, 11):
    axes[2].plot(x, np.sin(n * np.pi * x), label=fr'$\sin({n}\pi x)$', linewidth=2)
axes[2].set_title('Funciones seno')
axes[2].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
axes[2].legend(fontsize='x-small', ncol=2)

# Ajustar diseño
plt.tight_layout()
plt.show()

3 . Aproximación de una función por la base trigonométrica

Sea [math] f(x) = xe^{-x} [/math],

definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio [math]L^2(-2,3)[/math].

Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2(- \pi, \pi) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la base de Fourier trigonométrica:

[math] \beta = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math],

Si consideramos ahora el espacio \( L^2(a, b) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

[math] h(x) = \frac{2\pi}{b-a} (x - a) - \pi, \quad x \in [a, b] [/math],

De esta manera, \( h(x) \in [-\pi, \pi] \), lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio \( L^2(- \pi, \pi) \) al nuevo intervalo \( [a, b] \).

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de \( L^2(a,b) \):

[math] \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{b-a}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi (x-a)}{b-a} - \pi \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi (x-a)}{b-a} - \pi \right) \right) \right\}. [/math]

Para preservar la ortonormalidad en \( L^2(a,b) \), los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

[math] \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} [/math]

para los términos trigonométricos.

Una función f\in\( L^2(a,b) \) puede escribirse entonces:

[math] f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} d_n \cos(n h(x)) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} c_n \sin(n h(x)) [/math]

En [math] L^2(-2,3) [/math], nos queda la base:

[math] \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right), \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left( n \left( \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right) \right\}. [/math]

Sea la función \( f(x) = x e^{-x} \). Se verifica que \( f(x) \in L^2(-2,3) \), pues:

[math] \int_{-2}^{3} x^2 e^{-2x} \, dx = \frac{5(e^{10}-5)}{4 e^6}. [/math]

Dado que \( f(x) \) es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

[math] f \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} d_m \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right). [/math]

Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier

El coeficiente \( d_0 \) se obtiene como:

[math] d_0 = \left\langle f,\frac{1}{\sqrt{5}} \right\rangle_{L^{2}} = \int_{-2}^{3} x e^{-x} \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}. [/math]

Para los coeficientes \( d_n \):

[math] d_n = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle _{L^{2}}= \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. [/math]

Para los coeficientes \( d_m \):

[math] d_m = \left\langle f, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \right\rangle _{L^{2}} = \int_{-2}^{3} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x e^{-x} \sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx. [/math]

De esta forma, se puede aproximar la función f mediante los primeros 5, 10 y 20 términos de su desarrollo en serie de Fourier, empleando el siguiente código de python:

Aproximación de Fourier de la función extendida [math] xe^{-x} [/math]

Error absoluto entre la función [math] xe^{-x} [/math] y su aproximación de Fourier

Error en norma supremo de la aproximación para distintos valores de n

Error en norma L2 de la aproximación para distintos valores de n

from tqdm import tqdm
import sympy as sp
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n=10

def calcular_aproximacion_fourier(n):
    e = 0
    l = 0
    x = sp.symbols('x')
    
    for i in tqdm(range(1, n)): 
        integrand = (math.sqrt(2)/math.sqrt(5)) * x
        * sp.exp(-x) * sp.cos(i * ((2*sp.pi*x - sp.pi) / 5))
        integral_result = sp.integrate(integrand, (x, -2, 3))
        
        integrand2 = (math.sqrt(2)/math.sqrt(5)) * x 
        * sp.exp(-x) * sp.sin(i * ((2*sp.pi*x - sp.pi) / 5))
        integral_result2 = sp.integrate(integrand2, (x, -2, 3))
        
        e += integral_result * (math.sqrt(2)/math.sqrt(5)) * 
        sp.cos(i * ((2*sp.pi*x - sp.pi) / 5))
        l += integral_result2 * (math.sqrt(2)/math.sqrt(5)) * 
        sp.sin(i * ((2*sp.pi*x - sp.pi) / 5))
    
    d0 = -(4 + sp.exp(5)) / (math.sqrt(5) * sp.exp(3))
    f = d0 / math.sqrt(5) + e + l
    
    return sp.lambdify(x, f, "numpy")

# Definir la función f(x) = x * exp(-x)
def f(x):
    return x * np.exp(-x)

# Generar valores de x en el rango [-2, 3]
x_vals = np.linspace(-2, 3, 1000)
y_vals = f(x_vals)

f_numeric=calcular_aproximacion_fourier(n)
# Aproximación de Fourier (f_numeric debe estar definida previamente)
y_fourier = f_numeric(x_vals)

# Calcular el error
error_vals = np.abs(y_vals - y_fourier)

# Crear el gráfico de la función y su aproximación
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$f(x) = x e^{-x}$',linestyle='dashed', color='b')
plt.plot(x_vals, y_fourier, label=f"Aproximación n={n}", color='r')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Comparación entre f(x) y su Aproximación de Fourier")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

# Gráfico del error
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x_vals, error_vals, label="Error Absoluto", color='g')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Error")
plt.title("Error entre f(x) y su aproximación de Fourier")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show

# Valores de n a evaluar
n_vals1 = np.linspace(10,200,20)
n_vals=[]
for i in range(20):
    n_vals.append(int(n_vals1[i]))

error_L2_vals=[]
error_supremo_vals = []

for i in n_vals:
    f_numeric = calcular_aproximacion_fourier(i)
    y_fourier = f_numeric(x_vals)
    error_L2 = np.sqrt(np.trapz(np.abs(y_vals - y_fourier)**2, x_vals))
    error_L2_vals.append(error_L2)
    error_supremo = np.sqrt(np.trapz(np.abs(y_vals - y_fourier)**2, x_vals))
    error_supremo_vals.append(error_supremo)

# Graficar el error en norma L2 vs n
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(n_vals, error_L2_vals, linestyle='-', color='r')
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Error L2")
plt.title("Error en Norma L2 para distintos valores de n")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

# Graficar el error en norma supremo vs n
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(n_vals, error_supremo_vals, linestyle='-', color='r')
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Error norma supremo")
plt.title("Error en Norma supremo para distintos valores de n")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

4 . Referencias

• Sandro Salsa, Gianmaria Verzini. Partial Differential Equations in Action(Edición 4).