Series de Fourier (Grupo MECA)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo MECA)
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ángel De Lucas Miranda
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Las series de Fourier son una herramienta matemática fundamental en ingeniería y diversas disciplinas, utilizada, entre otras aplicaciones, en la resonancia magnética (RM). En ocasiones, las imágenes obtenidas en RM presentan artefactos: falsas estructuras o manchas que pueden confundirse con quistes u otras patologías. Uno de los fenómenos que contribuye a la aparición de estos artefactos es el fenómeno de Gibbs, el cual se genera en presencia de discontinuidades en las señales. En este trabajo estudiaremos el fenómeno de Gibbs.

2 Aproximación por series de Fourier

Empezaremos este trabajo aproximando la función característica [math] f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) [/math] por su serie de Fourier. Observamos que se trata de una función discontinua no periódica. Para resolver este último problema, extendemos la función de forma par al intervalo [math] [-1,1] [/math].

Es fácil comprobar que la función extendida pertenece al grupo de funciones [math] L^2 [/math], además la función verifica la condición de Dirichlet, por tanto, la serie de Fourier de la función converge puntalmente al propio punto en los puntos de continuidad y al promedio en los puntos de discontinuidad. A continuación se muestra el desarrollo de Fourier de la función extendida [math] f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) [/math] para diferentes valores de [math] n [/math].

Aproximación de Fourier de la función extendida [math] 1_{x \leq 1/4}(x) [/math]

def f(x):
    # Definimos la función a trozos extendida
    return np.where((x >= -0.25) & (x <= 0.25), 1, 0)

def coef_fourier(f,a,b,n):

    T = b-a # Periodo
    x = np.linspace(a,b,400)
    val_f = f(x)

    a_coef = [] # Lista de coeficientes
    
    for j in range(n+1):
        aux = 0
        val_cos = np.cos(2*np.pi*j*x/T)
        aux = np.trapz(val_f*val_cos,x)
        aux = aux*(2/T)  # La otra parte de la integral        
        a_coef.append(aux)
          
    return a_coef
    
def aprox_fourier_par(a_coef,T,x,n):
    aux = 0
    aux += a_coef[0]/2
    for i in range(1,n+1):
        aux += a_coef[i]*np.cos(2*np.pi*i*x/T)
    return aux

En la figura anterior se puede observar lo que se conoce como el fenómeno de Gibbs. Este fenómeno establece que en el punto de discontinuidad la serie de Fourier que aproxima la función presenta una oscilación que sobrepasa superior o inferiormente a la función original. Este fenómeno se da cuando tratamos de aproximar por Fourier funciones discontinuas. Además, también se sabe que el error de aproximación tiende al [math] 9\% [/math] del salto dado. A continuación se muestra una gráfica del error cometido por nuestra aproximación de Fourier usando dos normas diferentes, la norma del espacio [math] L^2 [/math] y la norma del supremo.

Error cometido por la aproximación de Fourier para distintos valores de [math] n [/math]. Es importante observar que el error tiende asintóticamente a [math]\approx 0.09 [/math], precisamente el [math] 9\% [/math] de [math] 1 [/math], en el caso de la norma de [math] L^2 [/math]

z = 300   # Número de aproximaciones que queremos hacer
error_L2 = []
error_sup = []

a_coef = coef_fourier(f,a,b,z)  # Obtenemos los z primeros coeficientes de la serie de fourier (hay z+1 en total)

intervalo = np.linspace(0,1,200) #El intervalo donde queremos integrar, [0,1]
y_real = f(np.array(intervalo))

for k in range(1,z+1):

    y_aprox = []
    
    for j in intervalo:
        y_aprox.append(aprox_fourier_par(a_coef[:k+1],T,j,k))
    
    error_L2.append(np.sqrt( np.trapz( abs(y_real-y_aprox)**2,x) ))
    error_sup.append(max(abs(y_real-y_aprox)))

valor_n = [i for i in range(1,z+1)]

plt.plot(valor_n,error_sup, color = "#d62728", label="Error norma supremo")
plt.plot(valor_n,error_L2, color = "#000080", label="Error norma $L^2$")
plt.xlabel('número de términos')
plt.ylabel('error')
plt.legend(loc="upper right")
plt.title("Error aproximación")
plt.savefig("Error_aprox")

Una forma de mitigar este fenómeno es con las sumas de Cesàro.

3 Sumas de Cesàro y el fenómeno de Gibbs

Las sumas de Cesàro ayudan a mitigar el fenómeno de Gibbs al suavizar la convergencia de las series de Fourier. En lugar de tomar directamente la serie de Fourier parcial de orden N, las sumas de Cesàro promedian las sumas parciales anteriores, reduciendo así las oscilaciones cerca de las discontinuidades. Expresado matemáticamente:

[math]\sigma_N(f) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^{N} S_n(f)[/math]

donde [math]S_n(f)[/math] es la suma parcial de Fourier de orden n. Otro método para suavizar el fenómeno de Gibbs consiste en las sumas de Abel. Una sucesión \( \sigma_N = \sum_{n=0}^{N} S_n \) se dice que es sumable de Abel a \( f \) si para cada \( 0 \leq r < 1 \), la serie

[math] A(r) = \sum_{n=0}^{\infty} S_n r^n [/math]

converge, y

[math] \lim_{r \to 1} A(r) = f. [/math]

Las cantidades \( A(r) \) se llaman la media de Abel de la sucesión. Se puede probar que si la serie converge a \( f \) entonces la sucesión es sumable de Abel a \( f \). Además, la condición de ser Abel sumable es más fuerte que la de convergencia en las sumas de Cesàro, toda serie que converge a \( f \) con las sumas de Cesàro es sumable de Abel a \( f \) también, sin embargo, no toda sucesión Abel sumable converge con las sumas de Cesàro (Ejemplo [math] \left( (-1)^k (k + 1) \right)_{k \in \mathbb{N}} [/math])

Sumas de Cesàro aplicadas a la función [math] 1_{x \leq 1/4}(x) [/math]

def cesaro(f,a,b,n,x):

    a_coef = coef_fourier(f,a,b,n)  
    T = b-a    
    aux = 0

    for i in range(n+1):
        aux += aprox_fourier_par(a_coef[:i+1],T,x,i)
    end
    aux = aux/(n+1)

    return aux