Series de Fourier (MAMBD)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo MAMBD |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea [math]f[/math] una función integrable y periódica en [math][-T,T][/math], dada la base [math]B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}[/math], su serie de Fourier viene dada por la expresión:
[math]\begin{equation*} f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \end{equation*}[/math]
cuyos coeficientes son:
[math] \begin{aligned} &\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\ &\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\ &\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx. \end{aligned} [/math]
2 Aproximación de una función continua
Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]
En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].
Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base [math](\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\})[/math] resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier
Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas: Insetar fotos (no se hacerlo)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)
def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))
def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k
def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n
# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]
# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)
# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)
# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()3 Cambio de intervalo de aproximación
A continuación aproximaremos la función \( f(x) = x e^x \) en el intervalo \([-2, 3]\) mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio \( L^2([-2, 3]) \). Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos [math]f(x)[/math] con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.
Como ya sabemos, en el espacio [math]L^2[-\pi, \pi][/math] la base trigonométrica asociada es:
En general, para [math]L^2([a,b])[/math], mediante el cambio de variable [math]
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
[/math] se tiene que la base trigonométrica asociada es
que es una base ortonormal para [math]L^2([a,b])[/math]. Bajo este cambio de variable, una función [math]f(x)[/math] en [math]L^2([a,b])[/math] se puede expresar como:
donde [math]g(x)[/math] es el cambio de variable aplicado, y [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son los coeficientes correspondientes. De esta manera, [math]g(x) \in [-\pi, \pi][/math], lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio [math]L^2(-\pi, \pi)[/math] al nuevo intervalo [math][a, b][/math].
Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo [math][-2, 3][/math]. Obtenemos que:
Definición: El espacio [math]L^2(-T, T)[/math] se define como el conjunto de funciones medibles [math]f(x)[/math] en el intervalo [math][-T, T][/math] tales que:
[math] \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty. [/math]
Definición: Decimos que una función [math]f(x)[/math] satisface la condición de dirichlet si [math]f(x) \in L^2([-T,T])[/math], es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir [math][-T,T][/math] en un conjunto de subintervalos en los que [math]f[/math] es monótona.
Teorema: Sea [math]f \in L^2([-2, 3])[/math] una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a [math]f(x)[/math] si [math]x[/math] es un punto de continuidad en [math][-2,3][/math].
Claramente, [math]f(x)[/math] es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que [math]f(x) \in L^2([-2, 3])[/math], pues:
Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a [math]f(x)[/math]. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio [math]L^2([-2, 3])[/math], los coeficientes de Fourier de la función [math]f(x)[/math] son:
[math] d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1 [/math]
[math] c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1. [/math]
Calcularemos los coeficientes [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de [math]f(x)[/math] en [math][-2,3][/math] y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de [math]n[/math].
