Series de Fourier (MAMBD)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo MAMBD
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea [math]f[/math] una función integrable y periódica en [math][-T,T][/math], dada la base [math]B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}[/math], su serie de Fourier viene dada por la expresión:

[math]\begin{equation*} f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \end{equation*}[/math]

cuyos coeficientes son:

[math] \begin{aligned} &\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\ &\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\ &\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx. \end{aligned} [/math]

2 Aproximación de una función continua

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].

Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base [math](\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\})[/math] resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier

[math]f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).[/math]

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas: Insetar fotos (no se hacerlo)

Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier

Archivo:ErroresFourierMAMBD.jpeg

Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier

3 Cambio de intervalo de aproximación

A continuación aproximaremos la función \( f(x) = x e^x \) en el intervalo \([-2, 3]\) mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio \( L^2([-2, 3]) \). Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos [math]f(x)[/math] con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio [math]L^2[-\pi, \pi][/math] la base trigonométrica asociada es:

[math] \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}. [/math]

En general, para [math]L^2([a,b])[/math], mediante el cambio de variable [math] g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi, [/math] se tiene que la base trigonométrica asociada es

[math] \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[ \sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right), \sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right) \right] \right\}_{n=1}^{\infty}, [/math]

que es una base ortonormal para [math]L^2([a,b])[/math]. Bajo este cambio de variable, una función [math]f(x)[/math] en [math]L^2([a,b])[/math] se puede expresar como:

[math] f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right), [/math]

donde [math]g(x)[/math] es el cambio de variable aplicado, y [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son los coeficientes correspondientes. De esta manera, [math]g(x) \in [-\pi, \pi][/math], lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio [math]L^2(-\pi, \pi)[/math] al nuevo intervalo [math][a, b][/math].

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo [math][-2, 3][/math]. Obtenemos que:

[math] f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right), [/math]

Definición: El espacio [math]L^2(-T, T)[/math] se define como el conjunto de funciones medibles [math]f(x)[/math] en el intervalo [math][-T, T][/math] tales que:

[math] \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty. [/math]

Definición: Decimos que una función [math]f(x)[/math] satisface la condición de dirichlet si [math]f(x) \in L^2([-T,T])[/math], es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir [math][-T,T][/math] en un conjunto de subintervalos en los que [math]f[/math] es monótona.

Teorema: Sea [math]f \in L^2([-2, 3])[/math] una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a [math]f(x)[/math] si [math]x[/math] es un punto de continuidad en [math][-2,3][/math].

Claramente, [math]f(x)[/math] es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que [math]f(x) \in L^2([-2, 3])[/math], pues:

[math] \int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) \lt \infty. [/math]

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a [math]f(x)[/math]. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio [math]L^2([-2, 3])[/math], los coeficientes de Fourier de la función [math]f(x)[/math] son:

[math] d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3} [/math]

[math] d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1 [/math]

[math] c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1. [/math]

Calcularemos los coeficientes [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de [math]f(x)[/math] en [math][-2,3][/math] y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de [math]n[/math].