Series de Fourier (Grupo ILIA)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo ILIA)
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Luis Ramos Ortiz, Alicia Ruiz Dominguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En una amplia gama de problemas de ingeniería y matemáticas aparecen funciones periódicas que se necesitan aproximar mediante sumas de funciones trigonométricas, lo que conduce a las series de Fourier.

Estas series constituyen una herramienta fundamental en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales y otros muchos ámbitos de la ciencia. La idea principal es que una función [math]f(x)[/math], definida en un espacio de Hilbert [math]L^2(-\pi,\pi)[/math], puede expresarse como una combinación infinita de funciones trigonométricas de la forma:

[math] f(x) \approx \frac{d_0}{2\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty}c_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) [/math]

Los coeficientes [math]d_0[/math], [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son los coeficientes de Fourier y se definen de la siguiente manera:

[math] \quad d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}} dx [/math]

[math] \quad d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx) dx [/math]

[math] \quad c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) dx [/math]

Este método permite descomponer funciones periódicas en sus componentes fundamentales, lo que es de gran utilidad en física, ingeniería y matemáticas aplicadas. A continuación, se presentan las primeras funciones base utilizadas en la expansión en series de Fourier.

2 Base trigonométrica

Para comprender mejor la construcción de las series de Fourier y poder visualizar las funciones base mencionadas, representamos gráficamente los primeros términos de la base trigonométrica [math] \mathcal{B} := \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math] en el intervalo [math] [ -1, 1 ] [/math] mediante un código en Python. Esto nos permitirá observar cómo estas funciones elementales forman una base ortonormal en el espacio [math] L^2( [-1,1]) [/math] y cómo, mediante combinaciones lineales de estas, podemos aproximar funciones arbitrarias.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def fourier_basis(n, x):
    """Genera los primeros n términos de la base de Fourier trigonométrica en [-1,1]."""
    basis_functions = [np.ones_like(x)]  # Función constante 1
    for k in range(1, n // 2 + 1):
        basis_functions.append(np.cos(np.pi * k * x))
        if len(basis_functions) < n:
            basis_functions.append(np.sin(np.pi * k * x))
    return basis_functions

# Parámetros
x = np.linspace(-1, 1, 400)
n_terms = 10

# Obtener funciones base
basis = fourier_basis(n_terms, x)

# Gráficas
for i, f in enumerate(basis):
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(x, f, label=f"Base {i+1}")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("Valor")
    plt.title("Primeros 10 elementos de la base de Fourier trigonométrica en [-1,1]")
    plt.legend()
    plt.grid()
    plt.show()

La relevancia de estas bases radica en su aplicación en la aproximación de funciones mediante series trigonométricas. Por ejemplo, sobre la base proporcionada, la aproximación de Fourier responderá a

[math]f(t) \approx \sum_{n=1}^{\infty}c_n e_n \quad \text{con} \quad c_n=\langle f, e_n \rangle[/math]