Series de Fourier (Grupo ILIA)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo ILIA)
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Luis Ramos Ortiz, Alicia Ruiz Dominguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Introducción

En una amplia gama de problemas de ingeniería y matemáticas aparecen funciones periódicas que se necesitan aproximar mediante sumas de funciones trigonométricas, lo que conduce a las series de Fourier.

Estas series constituyen una herramienta fundamental en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales y otros muchos ámbitos de la ciencia. La idea principal es que una función [math]f(x)[/math], definida en un espacio de Hilbert [math]L^2(-\pi,\pi)[/math], puede expresarse como una combinación infinita de funciones trigonométricas de la forma:

[math] f(x) \approx \frac{d_0}{2\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty}c_n \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) [/math]

Los coeficientes si o q [math]d_0[/math], [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son los coeficientes de Fourier y se definen de la siguiente manera:

[math] \quad d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}} dx [/math]

[math] \quad d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx) dx [/math]

[math] \quad c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{\sqrt{\pi}}sen(nx) dx [/math]

Este método permite descomponer funciones periódicas en sus componentes fundamentales, lo que es de gran utilidad en física, ingeniería y matemáticas aplicadas. A continuación, se presentan las primeras funciones base utilizadas en la expansión en series de Fourier.