Series de Fourier (Grupo CJMAS)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo CJMAS
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Dado un espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), podemos representar cualquier función en este espacio mediante una base ortogonal de funciones trigonométricas. La serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

[math] f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x) \right) [/math]

donde los coeficientes \(a_0\), \(a_n\) y \(b_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

[math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx [/math]

[math] a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx [/math]

[math] b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx [/math]

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

2 Base trigonométrica

En el contexto de las series de Fourier, una base ortogonal es un conjunto de funciones que permiten representar cualquier función en un determinado espacio mediante combinaciones lineales de sus elementos. En particular, en el espacio \(L^2[-\pi, \pi]\), la base trigonométrica está formada por el conjunto

[math] B=\{\frac{1}{\sqrt{2}}\}\cup\{\cos(n x), \sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } [/math]

formado por funciones \( 2 \pi- \)periódicas y ortogonales entre sí.

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable [math] h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-\pi[/math], se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

[math] B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos\left(n\left(\frac{2\pi (x-a)}{b-a}-\pi\right)\right), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin\left(n\left(\frac{2\pi (x-a)}{b-a}-\pi\right)\right)\right\}_{n\in\mathbb{N} } [/math]

Para visualizar esta base, se representa gráficamente en el intervalo [math][1,1][/math] los 10 primeros términos tomando [math]a=-1,b=1[/math] en la anterior expresión:

[math] \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } [/math]

%%% Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores 
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741];  % Azul
color_senos   = [0.85, 0.325, 0.098];  % Rojo
colors_individuales = lines(N);  

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos 
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
    plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
    plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos 
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
    plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos 
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
    plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.

Ahora consideremos un intervalo el cual no esté centrado en [math]x=0[/math], supongamos que queremos trabajar con la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, vamos a definir \(T\) como sigue:

[math] T=\frac{b-a}{2}= \frac{3-(-2)}{2}=\frac{5}{2} [/math]

Dado que la base trigonométrica estándar está definida para intervalos simétricos \( [-T, T] \), realizamos el cambio de variable mencionado con anterioridad, que nos permite trasladar el intervalo de definición de \( f(x) \) a la forma simétrica. De esta forma, obtenemos la base:

[math] B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\pi\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\pi\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. [/math]