Series de Fourier (MAMBD)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo MAMBD |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base construida por funciones trigonométricas, aplicaciones discontinuas ampliando así el espectro de funciones aproximables por los desarrollos de Taylor. continuemos con una breve explicación de la obtención de la serie de Fourier de una determinada función: sea [math]f[/math] una función integrable en [math][0,T][/math], y además periódica de periodo [math]T[/math], su serie de Fourier viene dada por la expresión:
[math]\begin{equation*} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x + b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \right) \end{equation*}[/math]
cuyos coeficientes se obtienen a partir de:
[math]\begin{align*} a_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]
Observando la posible simetría de los correspondientes integrandos, podemos distinguir dos casos, cuando [math]f[/math] es par o cuando [math]f[/math] es impar. Veamos qué ocurre en cada uno.
Si [math]f[/math] es par: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son pares ya que tanto [math]f[/math] como los cosenos lo son, sin embargo al calcular los [math]b_n[/math] las funciones a integrar son impares, resultando que el valor de la integral se anule:
[math]\begin{align*} a_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]
Y por ende la serie de Fourier obtenida es de la forma [math]\begin{equation} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]
Si [math]f[/math] es impar: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son impares, en cambio, al calcular los [math]b_n[/math] son pares, obteniendo:
[math]\begin{align*} a_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots\\[8pt] b_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]
y por ende la serie de Fourier resultante: [math]\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]
2 Aproximación de una función continua
Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]
En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].
Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base [math](\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\})[/math] resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier [math]f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).[/math]
3 Cambio de intervalo de aproximación
A continuación aproximaremos la función \( f(x) = x e^x \) en el intervalo \([-2, 3]\) mediante su serie de Fourier. En primer lugar, lo que haremos será calcular la base trigonométrica asociada al espacio \( L^2([-2, 3]) \). Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos $f(x)$ con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.
Como ya sabemos, en el espacio [math]L^2[-\pi, \pi][/math] la base trigonométrica asociada es:
[math] \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}. [/math]
En general, para [math]L^2([a,b])[/math], mediante el cambio de variable [math] g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi, [/math] se tiene que la base trigonométrica asociada es
[math] \mathcal{F} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[ \sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right), \sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right) \right] \right\}_{n=1}^{\infty}, [/math]
que es una base ortonormal para [math]L^2([a,b])[/math]. Bajo este cambio de variable, una función [math]f(x)[/math] en [math]L^2([a,b])[/math] se puede expresar como:
[math] f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right), [/math]
donde [math]g(x)[/math] es el cambio de variable aplicado, y [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son los coeficientes correspondientes. De esta manera, [math]g(x) \in [-\pi, \pi][/math], lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio [math]L^2(-\pi, \pi)[/math] al nuevo intervalo [math][a, b][/math].
Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo [math][-2, 3][/math]. Obtenemos que: [math] f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right), [/math] \begin{definicion}
El espacio [math]L^2(-T, T)[/math] se define como el conjunto de funciones medibles [math]f(x)[/math] en el intervalo [math][-T, T][/math] tales que:
[math] \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty. [/math] \end{definicion}
\begin{definicion}
Decimos que una función [math]f(x)[/math] satisface la \textbf{condición de dirichlet} si [math]f(x) \in L^2([-T,T])[/math], es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir [math][-T,T][/math] en un conjunto de subintervalos en los que [math]f[/math] es monótona.
\end{definicion}
\begin{teorema}
Sea [math]f \in L^2([-2, 3])[/math] una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a [math]f(x)[/math] si [math]x[/math] es un punto de continuidad en [math][-2,3][/math].
\end{teorema}
Claramente, [math]f(x)[/math] es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que [math]f(x) \in L^2([-2, 3])[/math], pues:
[math] \int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) \lt \infty. [/math]
Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a [math]f(x)[/math]. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio [math]L^2([-2, 3])[/math], los coeficientes de Fourier de la función [math]f(x)[/math] son:
[math] d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3} [/math]
[math] d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1 [/math]
[math] c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1. [/math]
Evidentemente, los [math]d_n[/math] y [math]c_n[/math] son integrales complicadas y las calcularemos en Python mediante métodos numéricos, permitiendo así obtener finalmente la serie de Fourier de [math]f(x)[/math] en [math][-2,3][/math] y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para unos valores de [math]n[/math] determinados que es el objetivo principal del ejercicio.
