Series de Fourier (Grupo GIXP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo GIXP
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao Paula León
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Una serie de Fourier (en honor al matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier) consta de una suma infinita de funciones sinusoidales definidas en un dominio [math] \Omega \subseteq \mathbb{R}^n [/math] que convergen en mínimos cuadrados a una cierta función [math] f(x) [/math]. En el ámbito del análisis funcional, las series de Fourier son una poderosa herramienta capaz de descomponer cualquier función periódica definida sobre un cierto dominio como una combinación lineal de infinitas funciones sinusoidales. Poseen numerosas aplicaciones en física e ingeniería, relacionadas con el procesamiento de señales acústicas, análisis vibratorio y compresión de datos, entre otras.

En el espacio de Hilbert [math] L^2([-T,T]) = \{f : [-T,T] \rightarrow \mathbb{R} : \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty\} [/math] se define un producto escalar [math] \langle f_1, f_2 \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot g(x) \, dx[/math] y las funciones sinusoidales forman una base ortonormal

[math] B = \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{2T}}\Biggr\} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} [/math],

y una función [math] f(x) [/math] se descompone como

[math] f(x) \sim \dfrac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum^{\infty}_{n=1} d_n \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} + \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} [/math],

donde

• [math] d_0 = \bigl \langle f, \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \, dx [/math]
• [math] d_n = \bigl \langle f, \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math]
• [math] c_n = \bigl \langle f, \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math].
  
  

Para hacerlo más ilustrativo, mostremos en una gráfica los 10 primeros términos de la base trigonométrica mencionada para el intervalo [-1,1]:

Primeros diez términos de la Base Trigonométrica

% Definir el intervalo x en [-1,1]
x = np.linspace(-1, 1, 500)

% Colores pastel
colors = sns.color_palette("pastel", 10)

% ---- 1. Función constante ----
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(x, np.full_like(x, 0.5), color=colors[0], linewidth=2, label=r"$\frac{1}{2}$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$f(x)$")
plt.title("Función constante de la base de Fourier")
plt.legend()
plt.show()

% ---- 2. Gráfica de los primeros 10 términos de cos(nπx) ----
plt.figure(figsize=(8, 5))
for n in range(1, 11):

    plt.plot(x, np.cos(n * np.pi * x), color=colors[n-1], linewidth=2, label=rf"$\cos({n}\pi x)$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$\cos(n\pi x)$")
plt.title("Primeros 10 términos de $\cos(n\pi x)$")
plt.legend(loc="upper right", fontsize=8)
plt.show()

% ---- 3. Gráfica de los primeros 10 términos de sin(nπx) ----
plt.figure(figsize=(8, 5))
for n in range(1, 11):

    plt.plot(x, np.sin(n * np.pi * x), color=colors[n-1], linewidth=2, label=rf"$\sin({n}\pi x)$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$\sin(n\pi x)$")
plt.title("Primeros 10 términos de $\sin(n\pi x)$")
plt.legend(loc="upper right", fontsize=8)
plt.show()

1 Aproximación de una función continua

Aproximaremos la función [math] f(x) = 1 - 2\left| \frac{1}{2} - x \right| [/math] en el intervalo [math] [0,1] [/math].

En este apartado vamos a mostrar con este ejemplo cómo actúan las bases de Fourier aplicadas a funciones definidas en un intervalo no simétrico, como es el caso de [math] [0,1] [/math]. Para ello, la extenderemos de manera impar al intervalo [math] [-1,1] [/math], definiendo la función [math] f'(x) [/math] como:

[math] f'(x) = \begin{cases} f(x), & x \in [0,1] \\ - f(-x), & x \in [-1,0) \end{cases} [/math]

manteniendo la continuidad de la función, ya que [math] f(0) = 1 - 1 = 0 [/math], por lo que [math] f'(0^+) = f'(0^-) = f'(0) [/math] según la definición de [math] f' [/math].

Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan de la siguiente manera:

• [math] d_0 = \bigl \langle f', \dfrac{1}{\sqrt{2}} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f'(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, dx [/math]
• [math] d_n = \bigl \langle f', \cos{\left( n \pi x \right)} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f'(x) \cdot \cos{\left( n \pi x \right)} \, dx [/math]
• [math] c_n = \bigl \langle f', \sin{\left( n \pi x \right)} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f'(x) \cdot \sin{\left( n \pi x \right)} \, dx [/math]

Dado que los coeficientes [math] d_0 [/math] y [math] d_n [/math] son el resultado de la integral de una función impar [math] f'(x) [/math] multiplicada por funciones pares (como la función constante o las funciones asociadas a los cosenos) en un intervalo simétrico, obtenemos que estas integrales se anulan, es decir:

[math] d_0 = 0, \quad d_n = 0, \quad \forall n \in \mathbb{N} [/math]

Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de senos:

[math] f´(x) \sim \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cdot \sin{\left( n \pi x \right)} [/math]

A continuación procedemos a mostrar la aproximación de la extensión de la función original, f´(x), por medio de las series de Fourier para distintos números de términos de esta (como era de esperar, a mayor número de términos mejor es la aproximación). Para ello nos indican que calculemos los coeficientes de la serie aproximándolos por la fórmula del trapecio con una división lo bastante fina (10^{-3}).

Aproximación por Fourier de f´(x)

% Definición de la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);  % Función f(x) en [0,1]
fext = @(x) sign(x).*(1 - 2*abs(1/2 - abs(x)));  % Extensión impar de f(x) en [-1,1]

% Intervalo y parámetros
a = -1; b = 1;               % Extremos del intervalo [-1,1]
h = 1e-3;                    % Discretización
XX = linspace(a, b, (b - a) / h);  % Linspace de 2000 puntos en [-1,1]

% Términos de la serie de Fourier (n = 1, 5, 10)
nn = [1, 5, 10]; 

% Colores para cada valor de n
colors = ['b', 'g', 'r'];

% Crear una sola figura con 3 subgráficas (una debajo de la otra)
figure('Position', [100, 100, 800, 900])  % Aumenta el tamaño de la figura

% Para cada valor de n (1, 5, 10)
for j = 1:length(nn)
    n = nn(j);    % Número de términos de la serie
    s = zeros(1, length(XX));  % Inicializar la serie de Fourier
    
    % Cálculo de los coeficientes de Fourier
    for k = 1:n
        % Definimos los puntos en [0,1] para la regla del trapecio
        u = linspace(0, 1, 1000);  % Malla de puntos para la integral
        w = ones(size(u));         % Pesos para el trapecio
        w(1) = 1/2; w(end) = 1/2;  % Pesos de los extremos
        
        % Aproximación de la integral usando trapecio
        integrand = f(u) .* sin(k * pi * u);  % Producto f(x) * sin(k*pi*x)
        ak = 2 * trapz(u, integrand .* w);  % Coeficiente de Fourier a_k
        
        % Sumar el término de la serie
        s = s + ak * sin(k * pi * XX);  % Sumar el término k-ésimo
    end
    
    % Crear subgráficas para cada n, una debajo de la otra
    subplot(3, 1, j)
    hold on; grid on;
    plot(XX, fext(XX), 'k', 'LineWidth', 2)  % Función extendida en negro
    plot(XX, s, colors(j), 'LineWidth', 2)  % Serie de Fourier aproximada con color distinto
    title(['Aproximación de Fourier con n = ', num2str(n)], 'FontSize', 16)
    
    % Leyenda con texto más pequeño
    legend('Extensión impar de f(x)', 'Serie de Fourier de f(x)', 'Location', 'southeast', 'FontSize', 10)
    
    xlabel('x', 'FontSize', 14)
    ylabel('f(x) y Serie de Fourier', 'FontSize', 14)
end

Ahora calculemos el error de esta aproximación en norma L^2 y en uniforme para cada valor de n que hemos tomado y trataremos de estimar la función que sigue cada tipo de error

2 Base trigonométrica compleja

Se puede definir el conjunto de funciones que toman valores complejos y cuyo modulo al cuadrado es integrable.

[math] L^2( \Omega ) = \left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \ | \ \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^2 \, dx \right\} [/math].

Este conjunto tiene estructura de espacio vectorial y admite un producto escalar [math] \bigl \langle f, g \bigr \rangle_{\Omega} = \int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} \, dx [/math] dotandole de una estructura de espacio de Hilbert.

En esta sección se desarollará una serie de Fourier para aproximar una función que toma valores complejos. La función a aproximar es

[math] f(x) = 4x \left( \frac{1}{2} - x \right)^2 + ix [/math]

definida en el intervalo [math] [0,1] [/math]. Nótese que la función que se está estudiando es analítica en todo su dominio, por lo tanto, coincide con su serie de Fourier.

El objetivo es expresar la función como combinación lineal de elementos de una base del espacio. En particular, la base trigonométrica de [math] L^2(0,1) [/math] es [math] \left\{e^{2\pi ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} [/math] y será la que se usará para desarollar la serie de Fourier.

Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan de la siguiente manera:

• [math] z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} [/math]

Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de exponenciales complejas:

[math] f(x) \sim \sum^{+\infty}_{k=-\infty} z_k \cdot e^{2\pi ikx} [/math]