Modelos de mezclas (Grupo 20)

Este árticulo muestra la resolución del trabajo número cinco llevado a cabo por el grupo 20. El problema consiste en un modelo de mezclas, en el que intervienen dos embalses de agua limpia y una cierta cantidad de contaminante tóxico.

1 Enunciado de nuestro problema

Modelos de mezclas. Dos pantanos A y B con 100Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recibe 3Hm3=d��a de agua l��mpia proveniente de r��os y el B 1:5Hm3=d��a. Para mantener el nivel de los pantanos estable la presa de A a B deja pasar una media de 3Hm3=d��a mientras que la presa al �nal de B desaloja 4:5Hm3=d��a. Se produce un vertido t�oxico en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Supongamos que se dan las siguientes hip�otesis: 1. El contaminante est�a disuelto de forma homog�enea en el agua de los pantanos; 2. Al entrar o salir agua en un pantano, �esta se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando una mezcla homog�enea. 3. La variaci�on de contaminante en un lago es la diferencia entre el contaminante que entra y sale en el lago, es decir si denotamos por xA(t) la cantidad de contaminante en el lago A, se tiene dxA dt = velocidad de entrada 􀀀 velocidad de salida Se pide:

2 Primer apartado

1. Calcular el sistema de ecuaciones diferenciales para las cantidades de contaminantes en los lagos

xA y xB de acuerdo a las hip�otesis. >C�omo cambiar��a el sistema de ecuaciones si hubiese un

tercer pantano unido a B por una segunda presa que soltara 6Hm3=d��a recibiendo 1; 5Hm3=d��a

de agua l��mpia de r��os?

Planteamos el sistemas de ecuaciones respetando las hipótesis iniciales:

Ahora supioniendo que tenemos el tercer pantano, el sistema sería similar:

3 Segundo apartado

2. Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1Hm3=d��a de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos. Escribir el nuevo sistema de ecuaciones.

El plan de limpieza modifica el sistema de ecuaciones a

4 Tercer apartado

3. Resolver ambos sistemas por un método de Euler y comparar los resultados. ¿Cuál es la diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza? >Y la tercera parte?

Ahora utilizamos el método de Euler para resolver nuestros dos sistemas ( el inicial y el del plan de limpieza):

Pasado a código Matlab sería así:

Sin plan de limpieza:

%Definiciones
t0=0; tN=300; %Extremos del intervalo a estudiar
x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
v=100; %Volumen de los lagos A y B
A=[-3/v,0;3/v,-4.5/v]; %Matriz con los coeficientes que multiplicarán a xa y xb
x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución
xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
    x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
    xa(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
    xb(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo

%Dibujo
plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo
title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo');
xlabel('t(días)');
ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');

Con plan de limpieza

%Definiciones t0=0; tN=300; %Extremos del intervalo a estudiar x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0) N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos v=100; %Volumen de los lagos A y B A=[-4/v,1/v;4/v,-4.5/v]; %Matriz con los coeficientes que multiplicarán a xa y xb x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B for n=1:N

   x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
   xa(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
   xb(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb

end x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo

%Dibujo plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo'); xlabel('t(días)'); ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');

5 Cuarto apartado

4. Usar el m�etodo de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver ambos sistemas. Comparar con el m�etodo de Euler para diferentes tiempos.

6 Quinto apartado

5. Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos que tras unos d��as se redujo el contaminante a s�olo una tonelada en A y dos en B. >Cuanto contaminante se estima que se verti�o inicialmente?