El vórtice de Rankine (Grupo 4)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El vórtice de Rankine (Grupo 4)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes. En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

2 Campo de velocidades

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas:
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice.
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos.
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right )[/math] como [math]\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 [/math]
[math]0\leq z\leq z_{0}[/math]

% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

Campo de Velocidades del Huracán Camille

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

3.1 Divergencia del campo de velocidades

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math]

donde:
[math]v_{r}=0[/math] [math][/math] [math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\ \end{Bmatrix} \\[/math] [math][/math] [math]v_{z}=0[/math]

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Sustituyendo las componentes:
[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Ya que [math]v_{r}=0[/math] [math]v_{z}=0[/math]
Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math]

[math]\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0[/math]

dado que [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math] no depende de [math]\theta[/math], el término de derivada con respecto a [math]\theta[/math] es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es [math]\triangledown .V=0[/math]

Significado físico de la soluión

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

3.2 Rotacional del campo de velocidades

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

• [math]\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z} \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo [math]v_{r}[/math] , [math]v_{\theta}[/math], [math]v_{z}[/math] ;

[math]\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\ 0& si & r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección [math]\vec{e_{z}}[/math] cuando [math] r \leq R [/math] y nula para todos los puntos [math] r\gt R[/math]

Significado físico de la soluión

1. Dentro del núcleo: Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad.
2. En el exterior: El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje.

Rotacional Campo de Velocidades

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo [math] r \leq R [/math] y se anula fuera [math] r\gt R[/math]

% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9;   % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300;       % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225;     % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81;        % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200);  % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200);  % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R);         % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta);  % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0;                  % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);

4 Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice: En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice: En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

5 Campo de presión

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]
Donde [math]P_{0}[/math] es la presión del centro del ojo, [math]P_{\infty}[/math] es la presión atmosférica estándar, [math] \rho [/math] es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y [math]\upsilon_{\theta }[/math] es la velocidad tangencial del vórtice.

Código del campo de presión en un plano vertical:

% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;    % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;  % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000;    % Altura inicial, en metros (15 km)   
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura  
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar  
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));  
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
      if RR(i) <= R
          P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
      else
          P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
      end
  end
   % Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');

Campo de presión plano vertical

Interpretación física:

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación 
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
     P_level = pressure_steps(p_idx);
     % Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
     clf; % Limpiar gráfica
     surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
     % Resaltar el plano de presión actual
     hold on;
     contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
     % Configurar el gráfico
     title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
     xlabel('r (m)');
     ylabel('z (m)');
     zlabel('Presión (Pa)');
     xlim([0, max(r)]);
     ylim([0, z0]);
     zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
     view(0, 90);% Vista 3D
     colorbar;
     % Actualizar la gráfica
     drawnow;
     pause(0.1);
 end

"Animación campo de presiones"

Interpretación física:

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

6 Campo del gradiente de presión

El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación:
[math] v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})[/math]
Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas.
Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;     % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;   % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000;    % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40);  % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
    if RR(i) <= R
        % Dentro del radio del ojo
        P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
    else
        % Fuera del radio del ojo
        P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
    end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R;  % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R;  % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
       'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue');  % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
       'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red');   % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;

Campo de presión plano vertical

Interpretación física:

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
    r_val = R_mesh(i);
    if r_val <= R
        P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
    else
        P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
    end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;

Campo de presión plano horizonta

Interpretación física:

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v);  % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
    % Superficie isobárica
    contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
    hold on;
    % Campo de gradiente de presión
    quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
    % Título y etiquetas
    title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
    xlabel('Distancia radial r (km)');
    ylabel('Altura z (km)');
    colorbar;  % Barra de colores para presión
    axis tight;
    grid on;
    % Capturar el cuadro y agregarlo al video
    frame = getframe(gcf);  % Captura la figura actual
    writeVideo(v, frame);    % Escribe el cuadro en el archivo de video
    % Pausa para la animación
    pause(0.8);
    % Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
    clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);

"Animación campo de presiones"

Interpretación física:

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

7 Flujo de masa

El flujo de masa, [math]\dot{m}[/math], se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por [math]0 \leq r \leq 2R[/math], [math]0 \leq \theta \leq 2\pi[/math], [math]z \in [0, z_0][/math]. El flujo de masa se expresa como:

[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS [/math]

donde:
- [math]\rho[/math] es la densidad del aire,
- [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidad,
- [math]\vec{n}[/math] es el vector normal a la superficie,
- [math]dS[/math] es el elemento de área.
Simplificaciones:
1.FLUJO RADIAL:
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal ([math]z = 0[/math]):
[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } [/math]
Aquí, [math]v_r = 0[/math], por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.FLUJO VERTICAL:
Para un flujo vertical, integrando en [math]z[/math]:
[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }[/math]
donde [math]v_z = 0[/math]. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.FLUJO TANGENCIAL:
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

8 Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de [math]Γ[/math]; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán ([math]P_{\infty}[/math]) y el centro del ojo ([math]P_{0}[/math]) se puede expresar mediante la siguiente fórmula:
[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} [/math]
siendo:

• [math]\rho[/math] es la densidad del aire ([math]\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}[/math]).
  
• [math]Γ[/math] es la circulación [math]Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s[/math].
  
• R es el radio del núcleo del huracán [math]R = 46300 m[/math].
  

[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar [/math]
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: [math]P_{\infty}=1013 mbar[/math] (presión estandar atmosférica) y [math]P_{0}=909 mbar[/math] (presión en el ojo del huracán).
[math] P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar [/math]

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable.

Ejemplo del huracán Katrina:
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes.

Datos del huracán Katrina:

• Presión mínima: 902 milibares
• Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
• Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da:
[math] P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar [/math]

En cambio la diferencia de presión real nos sale de:

[math] P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar [/math]

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

9 Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)

Modelo de Vórtice	Viscosidad	Dimensionalidad	Estructura	Fenómenos Asociados	Similitudes con Rankine	Diferencias/Notas
Vórtice de Rankine	No	2D	Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre	Ciclones, huracanes	--------------------------------------------	Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
Lamb-Oseen	Sí	2D	Suave, con disipación por viscosidad	Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos	Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior	Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
Burgers	Sí	2D	Suave, con rotación y cizalladura	Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad	Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine	Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
Taylor-Couette	Dependiente	3D	Patrones confinados entre cilindros	Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio	Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine	Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
Kelvin (anillo de vórtices)	No	3D	Núcleo rotatorio en forma de anillo	Anillos de humo, estructuras submarinas	Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo	Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
Tornádico (Sullivan)	No	3D	Núcleo y exterior con gradientes extremos	Tornados, trombas de agua	Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine	Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
Batchelor	Sí	3D	Rotación combinada con flujo axial	Flujos detrás de hélices, turbinas	Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional	Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
Kármán (callejón de vórtices)	No	2D	Vórtices alternos y oscilatorios	Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos	Simetría circular de los vórtices individuales	No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
Cuántico	No	3D	Cuantización discreta de vorticidad	Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein	Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido	La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.