Coordenadas cilindricas parabolicas (Grupo 36)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 36)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Miguel Fernández de soto García Rodrigo Moral Garía Jaime Gonzalez Perez Carlos Montero Quesada
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

Líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Para dar las parametrizaciones de \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\), partimos de la relación de las coordenadas cilíndricas parabólicas con las coordenadas cartesianas:

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

Para cada línea coordenada, se mantienen constantes las otras dos variables manteniendo la misma variable e igualándola al parámetro t, por lo que cada curva será calculada en función de \(t\).

• \(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], dónde v, z son constantes.

[math]x = \frac{t^2-\frac{y^2}{t^2}}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación de la curva \(v\) en función del parámetro t: [math]y = \sqrt{t^4 - 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], dónde u, z son constantes.

[math]x = \frac{\frac{y^2}{t^2}-t^2}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación de la curva \(u\) en función del parámetro t: [math]y = \sqrt{t^4 + 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], dónde u, v son constantes.

Código MATLAB y representación gráfica:

Como se puede ver en la figura, las líneas coordenadas varían según el parámetro t, estas se 'abren' conforme nos alejamos de t=0, mientras que en este caso serian una línea recta sobre el eje x. La línea coordenada \(\gamma_z\) varía en el 'nivel' del plano OXY, que es el representado.

clear; clc;

%DEFINICIÓN DE RANGOS
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de u para las curvas gamma_v
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de v para las curvas gamma_u

figure;
hold on;

%CURVAS GAMMA_U
% Variando u con valores fijos de v (v_fixed)
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de u
    x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
    y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
    plot(x_u, y_u, 'Color', [1-idx/length(v_vals), 0, idx/length(v_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% CURVAS GAMMA_V
% Variando v con valores fijos de u (u_fixed)
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de v
    x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
    y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
    plot(x_v, y_v, 'Color', [0, idx/length(u_vals), 1-idx/length(u_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% GRÁFICO
title('Líneas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en función del valor de "t"');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
axis equal;
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'}, 'Location', 'BestOutside');

hold off;

2 Cálculos teóricos

Para este apartado se hacen diversos cálculos alrededor de las lineas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\):

[math]r'=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} = (\frac{u^2 - v^2}{2})\vec{i}+uv\vec{j}+z\vec{k}[/math].

Campos velocidad de las líneas coordenadas \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\), \(\gamma'_z\):

[math] \vec{r} : \begin{cases} \vec{\gamma_u'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\ \vec{\gamma_v'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\ \vec{\gamma_z'} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} = \vec{k} = g \vec{z}\\ \end{cases} [/math]

A continuación, calculamos su módulo, es decir, los factores de escala h_u, h_v, h_z :

[math]h_u = |g_u'| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math]h_v = |g_v'| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}[/math]

[math]h_z = |g_z'| = 1.[/math]

Ahora debemos calcular los vectores tangentes unitarios [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math], para ello dividimos entre los factores de escala calculados previamente:

[math] e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \vec{k}[/math]

Como se cumple que [math] (e _\vec{u})(e _\vec{v}) = 0 ; (e _\vec{z})(e _\vec{v}) = 0[/math] y que [math](e _\vec{u})(e _\vec{z}) = 0[/math] y que [math] |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1[/math] podemos confirmas que tenemos una base ortonormal.

Código MATLAB y representación gráfica:

Se puede ver que en cada punto los vectores de la base física son tangentes a sus correspondientes líneas coordenadas llevando además el sentido creciente del parámetro. Estos vectores son linealmente independientes formando así una base ortonormal (vectores unitarios), que además esta orientada positivamente (el [math] e _\vec{z} [/math] es saliente, cumpliendo la regla de la mano derecha, además de que el [math] det[e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z}]\gt 0). [/math]

% Configuración inicial y parámetros
% Rango de valores para u y v
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v

% Punto de interés para los vectores unitarios
u_point = 1; % Valor fijo de u
v_point = 1; % Valor fijo de v
h = sqrt(u_point^2 + v_point^2); % Factor de escala

% Vectores unitarios en el punto (u_point, v_point)
eu = [u_point/h, v_point/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v_point/h, u_point/h, 0]; % Vector e_v

%  Gráfico de las líneas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1; % Valor fijo de v para gamma_u
x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
plot(x_u, y_u, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_u

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1; % Valor fijo de u para gamma_v
x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
plot(x_v, y_v, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_v

% Vectores unitarios
% Coordenadas cartesianas del punto donde se grafican los vectores
x_point = (u_point^2 - v_point^2) / 2;
y_point = u_point * v_point;

% Vectores unitarios
quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 'm', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_u
quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_v

% Gráfico
title('Líneas coordenadas y vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)', 'Vector e_u', 'Vector e_v'}, ...
       'Location', 'Best');
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Cálculo de las matrices de cambio de base.

A continuación escribimos las matrices de cambio de base [math] Q[/math] y [math]Q^-1 [/math] de acuerdo a el temario impartido en clase. Las matrices de cambio de base son herramientas extremadamente útiles, permitiéndonos transformas las coordenadas de vectores entre diferentes sistemas de coordenadas.

La matriz [math] Q[/math] nos permitirá transformar las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas a la base del sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

La forma general de la matriz de cambio de base [math] Q[/math] es la siguiente:

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Obtenemos [math] Q[/math]:

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}\;cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico.

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

Posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

Sacamos las raices de \(p\):

[math] p_1 \, =\,x_1\,+\,\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No \, válida \, por \, ser \: negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

Expresándolos en coordenadas cilíndricas parabólicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula utilizando la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}·(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3·(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div(\vec{r})=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas, es la siguiente:

[math] rot( \vec{F})=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+u·v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

• Componente [math] e_u [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_v [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)) - \frac {\partial}{\partial u} (z)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_z [/math]

[math] e_u = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

• Conclusión

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], podemos concluir que se trata de un campo irrotacional

[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}=0 [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la x en la ecuación de la curva sobre el plano z=0), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{(-i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

%Superficie f1
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0.1, 2, 100); % v es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Crear mallas para v y z
X = (c^2-V.^2) / 2;    % Coordenada x
Y = c * V;               % Coordenada y (constante en u = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0.1, 2, 100); % u > 0 y es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
X = (U.^2 - c^2) / 2;    % Coordenada x
Y = U * c;               % Coordenada y (constante en v = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3
% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 100); 
y_f3 = linspace(-5, 5, 100);  

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1; 
z_malla = z_const * ones(size(x_malla));  % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure; 
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Etiquetas y título
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]); 

% Ajustes para mejor visualización
axis equal;  % Mantener proporciones iguales entre los ejes
grid on;     % Añadir rejilla
colormap cool; % Mejorar esquema de colores
colorbar;    % Añadir barra de colores}}

Superficies regladas:

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

9 Curvatura de la parábola.

Dada la parábola

[math] y=-Ax^2+B; dónde A=B=2; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-2x^2+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{(1+(4x)^2)^{3/2}}=\frac{4}{(1+16x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}} = 4 [/math]

Se puede ver claramente que en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que concuerda perfectamente con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada a continuación, concluyendo de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

Código MATLAB y representación gráfica

A = 2; % Constante
x = linspace(-1, 1, 100);
kappa = 4 ./ (1 + 16 * x.^2).^(3/2);

figure;
plot(x, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(x) de la parábola');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;

10 Usos de la parábola en la ingeniería

La parábola es una curva matemática con unas propiedades únicas las cuales la hacen especialmente útil en diversas aplicaciones de la ingeniería. A continuación, mostraremos ejemplos en los cuales la parábola tiene una gran importancia en diferentes ámbitos, centrándonos en la ingeniería civil:

1. Puentes

• Puentes colgantes

En este tipo de puentes, la forma parabólica del cable principal recoge todos los cables y sus correspondientes esfuerzos, de donde cuelga el tablero, distribuyendo las cargas hacia las pilas. De esta forma se asegura el correcto funcionamiento del puente con una estructura ligera y que se adapta correctamente a fuerzas dinámicas como puede ser el viento.

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

• Puentes arco

Los puentes arco transforman las cargas verticales en fuerzas de compresión, distribuyéndolas hacia los anclajes. Esta geometría proporciona estabilidad, eficiencia estructural y durabilidad. Se trata de un tipo de puente más antiguo, usado para salvar menor luz que los puentes colgantes.

Puente Dom Luis I (Portugal)

2. Elementos estructurales

• Fachadas

Las parábolas optimizan las distribución de las fuerzas estructurales, aportando soluciones estéticamente muy interesantes y de gran ligereza.

Fachada del Oceanográfico de Valencia (España)

• Arcos

Los arcos de forma parabólica se pueden emplear como elemento estructural para distribuir de forma uniforme las cargas hacia los apoyos. Con ello se optimiza el uso de materiales, logrando un equilibrio entre funcionalidad y estética.

Estadio de Wembley (Inglaterra)

3. Presas

• Presas arco de gravedad

Estos arcos combinan la resistencia a la compresión del arco, con el peso de la propia estructura para resistir la presión del agua. El uso de parábolas en el diseño del arco permite desviar las fuerzas hidráulicas hacia los extremos de la presa, donde se transfieren al propio terreno.

Presa Hoover (Estados Unidos)

• Presas bóveda

Este tipo de presas usa dos curvas parabólicas para distribuir de manera más eficiente las cargas hacia las paredes del valle. De esta forma se reducen las presiones internas. Este diseño es favorable en valles estrechos.

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

4. Reflector

En otros ámbitos ingenieriles, el uso de la parábola como reflector es vital. En óptica, las superficies parabólicas permiten enfocar la luz hacia un punto específico. En el ámbito de las telecomunicaciones, al usar parábolas se concentran las ondas electromagnéticas en el receptor, mejorando la calidad e intensidad de la señal.

Esquema reflejo haces