Prototipo 101

1 Introducción

Torre de enfriamiento

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras muy importantes en las instalaciones industriales y su característico diseño optimiza la transferencia de calor. Su sección hiperbólica es ideal para reducir el uso de materiales de construcción y garantizar su resistencia frente a grandes vientos.

La geometría hiperbólica se ha estandarizado como la mejor solución para cumplir con su cometido. Su base ancha proporciona un área extensa para favorecer la evaporación del agua, mientras que el estrechamiento central incrementa la velocidad de disipación del aire. Además, la forma hiperbólica contribuye significativamente a la estabilidad estructural.

En este artículo se analizará un modelo estandarizado de torre de enfriamiento, definido por una altura total ([math]H[/math]), un radio máximo en la base ([math]Rmáx[/math]) y un radio mínimo ([math]Rmín[/math]) que se alcanza a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]. La superficie de la torre se describe matemáticamente mediante la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

[math]\dfrac{x^2+y^2}{a^2}-\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} = 1[/math]

Sean [math]a, c, z_0\gt0[/math] unos valores a determinar

Sean en nuestro modelo [math]Rmáx=50m[/math] ; [math]Rmín=20m[/math] ; [math]H=120m[/math]

2 Torre de enfriamiento y su geometría hiperbólica

Como se ha mencionado, la torre de enfriamiento sigue una geometría hiperbólica. Es importante aclarar que la torre es simétrica respecto del plano de corte horizontal en [math]z_0[/math], y el dominio abarca desde [math]z=0[/math] hasta [math]z=120[/math]. El [math]z_0[/math] marca la altura a la que se encuentra el radio mínimo ([math]Rmín[/math]) y se encuentra a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math], es decir, a [math]80m[/math] del suelo. Es por ello que el radio de la base no coincide con el radio de la cúspide de la torre.

2.1 Parámetros y ecuación del hiperboloide

2.1.1 Significado de los valores

El valor de [math]a[/math] está asociado con las dimensiones de la torre en el plano [math]z[/math], que es el plano horizontal. Dicho valor controla el ancho horizontal de la figura y fija el radio mínimo ([math]Rmín[/math]).

El valor [math]c[/math] determina cómo cambia la forma del hiperboloide a lo largo del eje [math]z[/math]. Regula la curvatura de la hipérbole en la dirección vertical.

El valor [math]z_0[/math] representa la altura a la que se encuentra el radio mínimo ([math]Rmín[/math]) del hiperboloide respecto de la base. En nuestra torre de enfriamiento, esta altura se encuentra a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math].

2.1.2 Paso de coordenadas cartesianas a cilíndricas

Para encontrar los valores de [math]a, c, z_0\gt0[/math] primero pasaremos nuestra educación del hiperboloide de coordenadas cartesianas [math](x, y, z)[/math] a coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math]. Para ello, se tomará la ecuación en cartesianas y se realizarán las siguientes relaciones para transformarla en coordenadas cilíndricas:

[math]x=ρ·cos(θ) ; y=ρ·sen(θ) ; z=z[/math]

[math]sen(θ)^2+cos(θ)^2=1[/math]

[math]x^2+y^2=ρ^2·cos(θ)^2+ρ^2·sen(θ)^2=ρ^2·(sen(θ)^2+cos(θ)^2)=ρ^2[/math]

Por lo tanto la ecuación en coordenadas cilíndricas es:

[math]\dfrac{ρ^2}{a^2}-\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=1[/math]

2.1.3 Cálculo de valores

Para el cálculo de valores se deben resolver las siguientes dos ecuaciones con sus dos incógnitas [math]a[/math] y [math]c[/math] :

Primera ecuación: [math]z=0[/math], en la que sabemos que el radio (ρ) es igual al radio máximo ([math]Rmáx=50m[/math]):

[math]1=\dfrac{ρ^2}{a^2}-\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=\dfrac{50^2}{a^2}-\dfrac{(0-80)^2}{c^2}=\dfrac{50^2}{a^2}-\dfrac{(-80)^2}{c^2}[/math]

Segunda ecuación: [math]z=80[/math], en la que sabemos que el radio (ρ) es igual al radio mínimo ([math]Rmín[/math]=20m</math>):

[math]1=\dfrac{ρ^2}{a^2}-\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=\dfrac{20^2}{a^2}-\dfrac{(80-80)^2}{c^2}=\dfrac{20^2}{a^2}[/math]

De la segunda ecuación se obtiene directamente el valor de [math]a[/math]. Después se obtiene el valor de [math]c[/math] sustituyendo [math]a[/math] en la primera ecuación:

[math]1=\dfrac{20^2}{a^2} ; a=20[/math]

[math]1=\dfrac{50^2}{a^2}-\dfrac{(-80)^2}{c^2}=\dfrac{50^2}{20^2}-\dfrac{(-80)^2}{c^2} ; c≈34,915[/math]

2.1.4 Conclusión

Los valores finales que describen nuestra torre de enfriamiento modelo son: [math]a=20, c=34,915[/math] y [math]z_0=80[/math]. La ecuación final en coordenadas cilíndricas que modeliza nuestra torre es:

[math]1=\dfrac{ρ^2}{a^2}-\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2}=\dfrac{ρ^2}{20^2}-\dfrac{(z-80)^2}{34,915^2}[/math]

2.2 Descripción como superficie reglada

Una superficie reglada es una superficie generada por la estela de una recta, la generatriz, que se desplaza por una o varias curvas, las directrices.

2.2.1 Directrices

La primera directriz es un círculo inferior en el plano [math]z=0[/math] con radio igual a [math]Rmáx=50m[/math]

[math]r_1(t)=(Rmáx·cos(t), Rmáx·sen(t), z), tε[0,2π][/math]

La segunda directriz es un círculo superior en el plano [math]z=120[/math] con radio igual a [math]R≈30,414m[/math]

[math]r_2(t)=(R·cos(t), R·sen(t), z), tε[0,2π][/math]

La tercera directriz es un círculo intermedio en el plano [math]z=80[/math] con radio igual a [math]Rmín=20m[/math]

[math]r_3(t)=(Rmín·cos(t), Rmín·sen(t), z), tε[0,2π][/math]

2.3 Visualización en MATLAB

En la siguiente imagen se muestra la visualización de la superficie de nuestra torre de enfriamiento en color gris a través de MATLAB. A la visualización se le han acompañado dos círculos en los planos [math]z=0[/math] y [math]z=120[/math] para una mejor visualización:

Visualización torre de enfriamiento

% Parámetros de la torre:
a = 20;
c = 34.915;
z_0 = 80;
R_max = 50;
R_min = 20;
z_min = 0;
z_max = 120;

% Coordenadas cilíndricas:
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
z = linspace(z_min, z_max, 100);
[THETA, Z] = meshgrid(theta, z);

% Definición de ro:
ro = sqrt(a^2 * (1 + ((Z - z_0).^2 / c^2)));

% Asegurar que los valores están en el dominio:
ro = min(max(ro, R_min), R_max);

% Conversión a coordenadas cartesianas:
X = ro .* cos(THETA);
Y = ro .* sin(THETA);

% Crear la figura:
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', [0.8, 0.8, 0.8], 'EdgeColor', 'none');
hold on;

% Dibujar los círculos en los planos z=0 y z=120:
circle_theta = linspace(0, 2*pi, 100);
circle_x_z0 = R_max * cos(circle_theta);
circle_y_z0 = R_max * sin(circle_theta);
circle_x_z120 = sqrt(a^2 * (1 + ((z_max - z_0)^2 / c^2))) * cos(circle_theta);
circle_y_z120 = sqrt(a^2 * (1 + ((z_max - z_0)^2 / c^2))) * sin(circle_theta);

% Mostrar los círculos:
plot3(circle_x_z0, circle_y_z0, z_min * ones(size(circle_theta)), 'k', 'LineWidth', 1);
plot3(circle_x_z120, circle_y_z120, z_max * ones(size(circle_theta)), 'k', 'LineWidth', 1);

% Configurar límites y etiquetas:
axis equal;
xlim([-60, 60]);
ylim([-60, 60]);
zlim([z_min, z_max]);
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie Hiperbólica en Coordenadas Cilíndricas');

% Mostrar la gráfica
view(3);
grid on;
hold off;

3 Presión del viento

El viento es un agente externo que ejerce presiones laterales que varían a lo largo de la superficie en función de la altura. La velocidad escalar se puede representar de la siguiente forma:

[math]V(z)=V_0·(\dfrac{z}{Zref})^α[/math]

Sea [math]V_0[/math] la velocidad de referencia a la altura [math]Zref[/math] que en nuestro modelo podemos fijar en [math]15m/s[/math].

Sea [math]Zref[/math] la altura de referencia sobre el suelo, que generalmente equivale a [math]10m[/math].

Sea [math]α[/math] un exponente que depende del terreno, en nuestro modelo tendrá un valor de [math]0,14[/math].

3.1 Mapa de presión por viento

Utilizando la velocidad del viento previamente mencionada, la presión del viento sobre la superficie de la torre se puede representar como:

[math]V(z)=\dfrac{1}{2}ρ·V(z)^2[/math]

Sea ρ la densidad del aire estándar, que tiene un valor de [math]1,2Kg/m^3[/math].

Sustituyendo en la fórmula obtenemos que la presión en función de la altura es:

[math]V(z)=\dfrac{1}{2}ρ·V(z)^2=\dfrac{1}{2}ρ·(V_0·(\dfrac{z}{Zref})^α)^2=\dfrac{1,2}{2}·(15·(\dfrac{z}{10})^0,14)^2≈70,849·z^{0,28}[/math]

3.2 Campo de fuerza en la superficie expuesta

La fuerza que ejerce el viento sobre la torre actúan en la dirección normal a la superficie, es decir, que el campo vectorial se representa de la siguiente forma:

[math]\vec{F}(x, y, z)=-P(z)·\vec{n}[/math]

4 Campo de temperatura

Dentro de la torre de enfriamiento tenemos un campo de temperaturas modelizado mediante la siguiente expresión:

[math]T(r,z)=T_{base}-ΔT_z·(\dfrac{z}{H})^n-ΔT_r·(1-e^{\dfrac-{r^2}{Rmáx^2-r^2}})[/math]

Sea [math]T_{base}[/math] la temperatura del punto central de la base, es decir, cuando [math]r=z=0[/math].

Sea [math]ΔT_z=T_{base}-T_{top}[/math], siendo [math]T_{top}[/math] la temperatura en la parte superior.

Sea [math]ΔT_r=T_{base}-T_{Rmáx}[/math].

Sea [math]n\gt1[/math] un exponente que modela la convección.

En nuestro modelo utilizaremos los siguientes parámetros: [math]T_{base}=70ºC[/math]; [math]T_{top}=25ºC[/math]; [math]n=1,5[/math]; [math]ΔT_r=5ºC[/math].

4.1 Representación respecto un plano de corte vertical que pasa por el eje

Primeramente se trabaja la ecuación inicial introduciendo los valores que podemos calcular:

[math]ΔT_z=T_{base}-T_{top}=70-25=45ºC[/math]

[math]H=120m[/math] y [math]Rmáx=50m[/math]

[math]T(r,z)=70-45·(\dfrac{z}{120})^{1,5}-5·(1-e^{\dfrac-{r^2}{50^2-r^2}})[/math]

6 Aplicaciones de estructuras hiperboloides en ingeniería

Torre de Kobe

Las estructuras hiperboloides se emplean en ingeniería debido principalmente a sus características de resistencia y ligereza, lo que las hace muy útiles en aplicaciones arquitectónicas y en el ámbito de la ingeniería civil.

Entre sus características más importantes destacamos que estas estructuras son especialmente valiosas por ser geométricamente eficientes, lo que las hace ideales para soportar grandes cargas con un material mínimo (como acero o concreto) consiguiendo una relación óptima entre peso y resistencia, y consiguiendo así el mayor rendimiento posible.

Otra característica a destacar es la estabilidad estructural ya que debido a sus formas distribuyen las cargas de manera uniforme, aumentando la durabilidad y la seguridad sin olvidar que su diseño aerodinámico también minimiza la resistencia al viento y mejora la estabilidad en zonas sísmicas lo que convierte a estas estructuras en una obra maestra en la ingeniería.

Estas características las hacen ideales para aplicaciones como torres, cubiertas de edificios, puentes y otras construcciones donde se requiere una estructura ligera pero resistente y, a día de hoy, continúan siendo un área de innovación en el diseño de construcciones más sostenibles y económicas a nivel mundial.

Puente con geometría hiperbólica