Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 29)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 29
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Ezequiel Torres Almonte Sebastián Taipe Alvarado Erik Miranda Núñez Almudena López Gonzales Diego Valero Valverde
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el interior se mueve con una velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior se encuentra fijo. Suponiendo que ambos cilindros tienen su eje en [math]OX_3[/math] y pintamos la sección transversal [math](x_3 = 0)[/math] el cilindro exterior queda proyectado sobre la circunferencia [math]\rho = 2[/math] y el interior sobre la circunferencia [math]\rho = 1[/math]. La velocidad angular cilindro interior es [math]\omega \gt 0[/math].

1 Mallado de la sección transversal

Para poder representar la sección principal usamos los parámetros proporcionados por el enunciado, que son los siguientes: [math](\rho, \theta) ∈ [0, 3] × [0, 2\pi][/math]

Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos

2 Calculo de velocidades. Ecuación de Navier-Stokes

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por [math]\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta[/math] y su presión [math]p[/math] constante. Además [math](\vec u, \rho)[/math] tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]

Donde el primer término se desprecia y, por lo tanto, obtenemos la siguiente ecuación vectorial:

[math]\mu\triangle\vec u=\vec 0[/math]

Siendo [math]\mu[/math] el coeficiente de viscosidad del fluido y [math]\triangle\vec u[/math] el laplaciano. En cartesianas, el laplaciano de un campo se define como [math]\triangle\vec u= \triangle u_1\vec i + \triangle u_2\vec j + \triangle u_3\vec k Pero como estamos trabajando en coordenadas cilíndricas utilizaremos la siguiente fórmula: \ltcenter\gt\ltmath\gt\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)[/math]</center>

2.1 Cálculo del laplaciano vectorial

2.1.1 Divergencia de [math]\vec u[/math]

[math]\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta))}+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)]=\frac{1}{\rho}[{\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta))}]=\frac{1}{\rho}[{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}]=0[/math]

Y, por lo tanto, el gradiente de la divergencia también es nulo. ([math]\triangledown(0)=\vec 0[/math]).

2.1.2 Rotacional del rotacional de [math]\vec u[/math]

Para ello calculamos primero el rotacional de [math]/vec u\lt\math\gt: \ltmath\gt\ \triangledown \times \vec{u}=\frac{1}{\rho} \cdot \left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ e_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{matrix}\right| =\frac{1}{\rho} \cdot \left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \vec{e_{z}}= \frac{1}{\rho} \cdot \left [ f(\rho ) + \rho \cdot {f}'\left ( \rho \right )\right ] \vec{e_{z}} [/math]

Ahora calculamos el rotacional del rotacional de [math]\vec u[/math]:

[math]\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\ 0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) \vec{e}_{\theta } = - \left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\vec{e}_{\theta }[/math]

Finalmente, el laplaciano quedaría de la forma: [math]\ \triangle \vec{u}=0-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } [/math] =

Una vez obtenido todos los términos, sustituimos en la ecuación de Navier-Stokes, obteniendo: [math]\vec{0} + 0 - µ∆\vec{u} = \vec{0} [/math] [math]∆\vec{u} = \vec{0} [/math] [math]\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } [/math]

2.2 Ecuación diferencial propuesta

A continuación, el problema nos propone comprobar que [math]f(\rho)[/math] satisface la ecuación diferencial: [math]\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\frac{\partial(f(ρ)}{\partial ρ})=\frac{f(\rho)}{\rho} [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\frac{\partial(f(ρ)}{\partial ρ})=\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho (f'(\rho)))=f'(\rho)+\rho (f''(\rho))\rightarrow f'(\rho)+\rho (f''(\rho))= \frac{f(\rho)}{\rho} [/math]

Podemos afirmar que se cumple. Posteriormente, el enunciado nos pide comprobar si la función [math]f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}[/math] es solución. Para ello sustituimos la solución dentro de nuestra ecuación diferencial.

[math]\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\frac{\partial(f(ρ)}{\partial ρ})= \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho(a-\frac{b}{\rho^2}))=\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho · a-\frac{b}{\rho})= a +\frac{b}{\rho^2}[/math]

Después calculamos [math]f'(\rho)[/math] y [math]f''(\rho)[/math]

• [math]f'(\rho) = a-\frac{b}{\rho^2}[/math]

• [math]f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3} [/math]

Sustituimos estos datos en [math]f'(\rho)+\rho (f''(\rho))= \frac{f(\rho)}{\rho} [/math] y obtenemos: [math]a-\frac{b}{\rho^2} + \rho \frac{2b}{\rho^3}= \frac{a\rho+\frac{b}{\rho}}{\rho}[/math]. De esta manera, demostramos que es solución.

Para finalizar, el necesitamos hallar los valores de a y b concretos de nuestro ejercicio. Para ello utilizaremos las condiciones de nuestro enunciado, dando los valores de la frontera interior y exterior a [math]\rho[/math] llegando a un sistema de dos ecuaciones.

• En el interior: [math]\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow a+b=w [/math]
• En el exterior: [math]\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=\vec{0} \rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=0 [/math]

[math]\ a=w-b \rightarrow 2(w-b)+\frac{b}{2}=0\rightarrow \frac{3}{2}b=2w [/math]

• [math]\ a=\frac{-1}{3}w [/math]
• [math]\ b=\frac{4}{3}w [/math]

2.3 Condición de incompresibilidad

Sabemos que en los fluidos incompresibles, el gradiente del vector velocidad tiene que ser igual a 0. Como hemos demostrado al inicio del apartado 2.1, nuestro fluido cumple la condición de incompresibilidad dado que [math]∆\vec{u} =\vec{0}[/math]

3 Representación del campo de velocidades

Suponiendo que, [math] \omega = 1 [/math] y [math] \mu = 1 [/math] obtenemos:

• [math]\ a=\frac{-1}{3} [/math]
• [math]\ b=\frac{4}{3} [/math]

Sustituimos a y b en la ecuación [math]f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}[/math] dando lugar a [math]f(\rho)=\frac{-1}{3}\rho+\frac{4}{3\rho}\rightarrow f(\rho)=\frac{-1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho})[/math]

Por lo tanto, nuestro campo es:

[math]\vec u=f(\rho)\vec e_\theta \rightarrow \vec u=\frac{-1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho})\vec e_\theta[/math]

3.1 Representación gráfica

Para representarlo, hemos utilizado el siguiente código de Matlab, dando lugar a lo mostrado en la Figura 2.

clear all % Limpiar la pantalla, espacio de trabajo y habilitar el modo de retención de gráficos
clc
hold on

radio_malla = 1:0.1:2;                        % Definir los parámetros para la malla de círculos        
angulo_malla = 0:0.1:2*pi;           
[R_malla, A_malla] = meshgrid(radio_malla, angulo_malla); 

x = R_malla .* cos(A_malla);                       % Convertir coordenadas polares a cartesianas
y = R_malla .* sin(A_malla);

X = sin(A_malla) .* (4/3 * (R_malla - 1./R_malla));   % Calcular componentes del campo vectorial
Y = cos(A_malla) .* (-1/3 * (R_malla - 1./R_malla));

quiver(x, y, X, Y);                             % Dibujar el campo vectorial usando quiver en 2D

Figura 2: Campo de velocidades

4 Representación de las líneas de corriente

Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\vec u [/math] tenemos que calcular el campo [math]\vec v [/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\vec u [/math] (tomar [math]\vec v =\vec k \times \vec u[/math])

[math]\vec v =\vec k \times \vec u = \vec e_z\times \frac{-1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho})\vec e_\theta = \frac{1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho})\vec e_\rho[/math]

4.1 Comprobación de irrotacionalidad

Comprobamos que el campo [math]\vec v[/math] es irrotacional debido a que la divergencia de [math]\vec u[/math] es nula. Aplicando la fórmula del rotacional obtenemos:

[math]\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho}) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0[/math]

De esta manera hemos comprobado la irrotacionalidad.

4.2 Calculo de [math]\psi[/math]

A continuación vamos a calcular [math]\psi[/math]:

[math]\vec v=\triangledown\psi=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial θ}\vec e_θ+\frac{\partial\psi}{\partial z} = \frac{1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho})\vec e_\rho[/math]

Despejamos [math]\psi[/math] y resolvemos la integral:

[math]\psi = \int \frac{1}{3}(\rho-\frac{4}{\rho}) \partial\rho = \frac{1}{3}\int (\rho-\frac{4}{\rho}) \partial\rho = \frac{1}{3}[\frac{\rho^2}{2} - 4ln(\rho)] + C[/math] [math]\psi = \frac {\rho^2}{6} - \frac {4ln(\rho)}{3}[/math]

4.3 Representación gráfica

Para realizar la representación de las líneas de corriente del campo (Figura 3), hemos utilizado el siguiente código de Matlab.

clear all                                                                             % Limpiar la pantalla
clc
ptos = 100;                                                       % Definir el número de puntos en la malla

densidad_radial = linspace(1, 2, ptos);  % Generar valores para la densidad radial (rho) en el rango [1, 2]

theta = linspace(0, 2*pi, ptos);               % Generar valores para el ángulo theta en el rango [0, 2*pi]

[RHO, THETA] = meshgrid(densidad_radial, theta);   % Crear una malla 2D de coordenadas polares (rho, theta)

funcion_f = ((RHO.^2/6) - ((4*log(RHO))/3));                 % Definir una función f en coordenadas polares

X = RHO .* cos(THETA);                            % Convertir coordenadas polares a coordenadas cartesianas
Y = RHO .* sin(THETA);

view(2);                                                                        % Establecer la vista en 2D

contour(X, Y, funcion_f, 20);     % Crear un gráfico de contorno de la función f en coordenadas cartesianas
colorbar;                                                                     % Mostrar la barra de colores

axis([-3, 3, -3, 3]);                                                      % Establecer los límites del eje
colormap("cool");                                                          % Establecer la colormap a 'cool'

Archivo:Fig4lin.jpg

Figura 3: Líneas de corriente del campo de velocidad

5 Velocidad máxima del fluido

Queremos hallar los puntos del fluido donde el módulo de la velocidad sea máxima. Para ello primero calculamos el módulo del campo de velocidades:

[math] \vec{u}(\rho) = ( \frac{-1}{3}\rho\omega + \frac{4}{3\rho}\omega ) \vec{e_\theta} [/math] [math] |\vec{u}(\rho)| = \left | \left ( \frac{-1}{3}\rho\omega + \frac{4}{3\rho}\omega \right ) \vec{e_\theta} \right | = \frac{\omega}{3} \left ( -\rho + \frac{4}{ρ} \right ) [/math]

A continuación derivamos [math]|\vec{u}(\rho)|[/math] respecto [math]\rho[/math] e igualamos a 0:

[math] \frac{\partial |\vec{u}(\rho)|}{\partial\rho} = \frac{\omega}{3} \left ( -1 - \frac{4}{\rho^2} \right )= 0 \rightarrow \rho=\sqrt{-4} [/math]

La solución obtenida no es real de manera que al ser continua debemos analizar los extremos de nuestro intervalo ([1,2])

• [math]|\vec{u}(1)|= 1[/math]
• [math]|\vec{u}(2)|= 0[/math]

Por lo tanto nuesto máximo se encuentra cuando [math]\rho = 1[/math], cosa que tiene sentido debido a que en el enunciado nos decían que el exterior se encontraba fijo mientras que el interior se movía a velocidad constante.

5.1 Representación gráfica

Para representar el campo escalar utilizaremos el siguiente código de Matlab, siendo la representación la Figura 4

clear all                           % Limpiar la pantalla, espacio de trabajo
clc
hold on

w = 1;                                                 % Parámetros iniciales
a = -1/3 * w;
b = 4/3 * w;

n = 35;                                                    % Número de puntos

r = linspace(1, 2, n);                                         % Crear mallas
theta = linspace(0, 2*pi, n);
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

x = R .* cos(TH);                  % Coordenadas en el espacio tridimensional
y = R .* sin(TH);

f = a * R + b ./ R;   % Función que define la superficie en función de R y TH

colorbar;              % Añade una barra de color para representar la magnitud de los vectores
colormap("cool");

figure;               % Crear y visualizar la superficie tridimensional en 2D
surf(x, y, f);
axis([-3, 3, -3, 3]);
view(2);

Figura 4: Comportamiento del módulo de la velocidad

6 Representación del rotacional de [math]\vec u[/math]

Como hemos calculado previamente, el rotacional de [math]\vec u[/math] es: [math]\ \triangledown \times \vec{u}= \frac{1}{\rho} \cdot \left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \frac{1}{\rho} \cdot \left [ f(\rho ) + \rho \cdot {f}'\left ( \rho \right )\right ] \bar{e_{z}} [/math]

También sabemos de apartados anteriores que:

• [math]f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}[/math]
• [math]f'(\rho) = a-\frac{b}{\rho^2}[/math]
• [math]\ a=\frac{-1}{3} [/math]
• [math]\ b=\frac{4}{3} [/math]

Sustituyendo en la fórmula del rotacional: [math]\frac{1}{\rho} \cdot \left [ a\rho+\frac{b}{\rho} + \rho \cdot ( a-\frac{b}{\rho^2}) \right] \bar{e_{z}} = \left [ a+\frac{b}{\rho^2} + a-\frac{b}{\rho^2} \right] \bar{e_{z}} = 2a \cdot \bar{e_{z}} = \frac {-2}{3} \cdot \bar{e_{z}} [/math] [math]\ |\triangledown \times \vec{u}| = \frac {2}{3}[/math]

6.1 Representación gráfica

A continuación mostramos la representación gráfica del campo [math]\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | [/math] (Figura 5), con el correspondiente código de Matlab utilizado para su obtención.

clear all                                          % Limpiar la pantalla, espacio de trabajo
clc

r_val = 1:0.33:2;                                % Definición de valores para radio y ángulo
th_val = 0:0.33:2*pi;

[R, TH] = meshgrid(r_val, th_val);   % Creación de una malla de puntos en coordenadas polares

x = R .* cos(TH);               % Conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas
y = R .* sin(TH);
z = zeros(size(x));

r_x = zeros(size(x));                                      % Definición del campo de rotación
r_y = zeros(size(x));
r_z = ones(size(y)) .* (-2/3);

quiver3(x, y, z, r_x, r_y, r_z);         % Representación gráfica del campo de rotación en 3D

axis([-3, 3, -3, 3]);                                  % Configuración de límites en los ejes

xlabel('EJE X');                                                    % Etiquetas para los ejes
ylabel('EJE Y');
zlabel('EJE Z');

Figura 5: Campo vectorial

7 Campo de temperaturas

La temperatura del fluido viene dada por el campo [math] T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} [/math]

7.1 Representación gráfica

Dibujamos el campo de temperaturas y las curvas de nivel utilizando Matlab.

clear all                                                     % Limpiar la pantalla y el espacio de trabajo 
clc

r = 1:0.1:2;                                                           % Definir las variables alpha y beta
ang = 0:0.1:2*pi;

[R, ANG] = meshgrid(r, ang);     % Generar una retícula rectangular a partir de las divisiones alpha y beta

x_coord = R .* cos(ANG);                                                   % Paso a coordenadas cartesianas
y_coord = R .* sin(ANG);

temp = 1 + R.^2 .* sin(ANG).^2 .* exp(-(R - 3/2).^2);                         % Expresión de la temperatura

figure(1)                                                                     % Representación del campo 3D
mesh(x_coord, y_coord, temp)
axis([-3, 3, -3, 3]);
colormap("cool");
surf(x_coord, y_coord, temp);
colorbar;
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
zlabel('Temperatura');

figure(2)                                           % Representación de las lineas de nivel del campo en 2D
contour(x_coord, y_coord, temp, 30, 'b');
axis([-3, 3, -3, 3]);
colorbar;
colormap("cool");
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');

Figura 6: Campo de temperaturas en 3D

Figura 7: Curvas de nivel en 2D

8 Gradiente de la temperatura

8.1 Cálculo del gradiente

El gradiente de la temperatura en coordenadas cilíndricas queda definido por : [math] \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z[/math] Por el apartado 7 sabemos que [math] T(\rho,\theta)[/math] es: [math] T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} [/math] Finalmente operando obtenemos: [math] \nabla T(\rho,\theta) = \left [ \rho sen^2 \theta\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \cdot (-2\rho^2 + 3\rho + 2) \right ] \vec{e}_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta = \left [ \rho sen^2 \theta\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \cdot (-2\rho^2 + 3\rho + 2) \right ] \vec{e}_\rho + \left [ \rho sen(2\theta)\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \right ] \vec{e}_\theta [/math]

8.2 Representación gráfica

Utilizamos el siguiente código de Matlab para obtener la representación grafica del gradiente de la temperatura, dando lugar a la Figura 9

clear all                                               % Limpiar la pantalla y el espacio de trabajo
clc

r = 1:0.1:2;                                           % Genera una cuadrícula en coordenadas polares
th = 0:0.1:2*pi;
[R, TH] = meshgrid(r, th);

Z = 1 + R.^2 .* (sin(TH .* exp((-(R - 3/2).^2)))).^2;   % Calcula la función Z en coordenadas polares

[Dx, Dy] = gradient(Z, r, th);                      % Calcula el gradiente de Z con respecto a r y th

figure;                                                                             % Crea una figura

quiver(R, TH, Dx, Dy, 'Color', 'r');  % Dibuja un campo de vectores (quiver plot) con colores cálidos

title('Campo de vectores en coordenadas polares');                      % Añade un título a la figura

xlabel('r');                                                             % Añade etiquetas a los ejes
ylabel('\theta');

colorbar;                     % Añade una barra de color para representar la magnitud de los vectores

Figura 8: Gradiente de temperatura y curvas de nivel

Posteriormente, comprobamos que las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente son ortogonales. Queda representado en la figura 10.

clear all                                                % Limpiar la pantalla y el espacio de trabajo
clc

r = 1:0.1:2;                                            % Genera una cuadrícula en coordenadas polares
th = 0:0.1:2*pi;
[R, TH] = meshgrid(r, th);

Z = 1 + R.^2 .* (sin(TH .* exp((-(R - 3/2).^2)))).^2;    % Calcula la función Z en coordenadas polares

[Gx, Gy] = gradient(Z, r, th);                       % Calcula el gradiente de Z con respecto a r y th

figure;                                                                              % Crea una figura

Z = 1 + R.^2 .* (sin(TH .* exp((-(R - 3/2).^2)))).^2;    % Calcula la función Z en coordenadas polares

figure;                                            % Crea una figura y dibuja las curvas de nivel de Z
contour(R, TH, Z);
title('Curvas de Nivel en Coordenadas Polares');
xlabel('r');
ylabel('\theta');
hold on;

[Gx, Gy] = gradient(Z, r, th);                       % Calcula el gradiente de Z con respecto a r y th

quiver(R, TH, Gx, Gy, 'Color', 'r');           % Dibuja un campo de vectores sobre las curvas de nivel

legend('Curvas de Nivel', 'Campo de Vectores');            % Leyenda para indicar el campo de vectores

hold off;