Coordenadas cilindricas parabolicas (Grupo 36)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 36)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Miguel Fernández de soto García Rodrigo Moral Garía Jaime Gonzalez Perez Carlos Montero Quesada
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

1.1 Líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Para dar las parametrizaciones de \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\), partimos de la relación de las coordenadas cilíndricas parabólicas con las coordenadas cartesianas:

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

El proceso es bastante sencillo, para cada línea coordenada, se mantienen constantes las otras dos variables. La línea coordenada con su variable en cuestión, será calculada en función de \(t\).

• \(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con v, z constantes. [math]\Rightarrow \x = \\frac{t^2-frac{y^2}{t^2}}{2}[/math].

• \(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con u, z constantes.
• \(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con u, v constantes.

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}cilíndricas parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}cilíndricas parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico.

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

Posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

Sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No valida por ser negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

Expresándolos en coordenadas cilíndricas parabólicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula utilizando la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}·(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3·(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div \vec{F}=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas, es la siguiente:

[math] rot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot\vec(r)=\frac{1}{u^2+u·v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

• Componente [math] e_u [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_v [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)) - \frac {\partial}{\partial u} (z)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_z [/math]

[math] e_u = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

• Conclusión

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], podemos concluir que se trata de un campo irrotacional

[math] rot \vec {r} = \nabla × \vec{r}=0 [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la </math> x^2 </math> en la fórmula de la parábola), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{-i}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

Superficies regladas:

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

9 Curvatura de la parábola.

Dada la parábola

[math] y=-Ax^2+B; dónde A=B=2; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-2x^2+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: </math> |\vec{v}(x)|^3= (sqrt{1^2 + (f(x))^2})^3 </math>

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{(1+(4x)^2)^{3/2}}=\frac{4}{(1+16x^2)^{3/2}} [/math]

Código MATLAB y representación gráfica

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

10 Usos de la parábola en la ingeniería

La parábola es una curva matemática con unas propiedades únicas las cuales la hacen especialmente útil en diversas aplicaciones de la ingeniería. A continuación, mostraremos ejemplos en los cuales la parábola tiene una gran importancia en diferentes ámbitos, centrándonos en la ingeniería civil:

1. Puentes

• Puentes colgantes

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

• Puentes arco

Puente Dom Luis I (Portugal)

1. Elementos estructurales

• Fachadas

Fachada del Oceanográfico de Valencia (España)

• Vigas

Estadio de Wembley (Inglaterra)

1. Presas

• Presas arco de gravedad

Presa Hoover (Estados Unidos)

• Presas bóveda

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

1. Faros

Esquema reflejo faros