T.C.V2
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
La curva parametrizada en coordenadas cartesianas es:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]
Se toma R=2.
Contenido
- 1 Visualización de la curva
- 2 Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente
- 3 Longitud de la cicloide
- 4 Vector tangente y vector normal
- 5 Curvatura
- 6 Circunferencia Osculatriz
- 7 Información la sobre curva y relación con la ingeniería
- 8 Superficie reglada
- 9 Masa de la superficie
1 Visualización de la curva
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona.
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
2 Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente
2.1 Vector velocidad
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
- [math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (R(1-cos(t))\vec i +R(sen(t))\vec j [/math]
2.2 Vector aceleración
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.
- [math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j[/math]
2.3 Representación gráfica de los vectores
Mediante un código en MATLAB
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
3 Longitud de la cicloide
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica.
[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
\int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= [/math]
[math] = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m [/math]
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);
n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
X=2*(t-sin(t)); Y=2*(1-cos(t)); % Parametrización cicloide
Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt)); % "" aproximación
G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25]; % Delimitacón de los ejes
figure
hold on
title('Visualización de la resolución numérica')
xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
axis equal ;axis(G);
for i=2:length(tt);
plot(X,Y,"g",'LineWidth',2) % Generación cicloide i
v=linspace(0,2*pi,i); % veces
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b') % "" aproximación en azul
pause(0.5) % Se muestra un 0.5s
plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w') % Se suprime la aproxima
% ción pintandola de
% blanco
if i==20;
plot(Xt,Yt,'b')
end
end
hold off
4 Vector tangente y vector normal
4.1 Vector tangente
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
- [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]
4.2 Vector normal
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
- [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]
4.3 Representación de los vectores tangente y normal
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2);
t1=v1./norma;
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k');
%tangente
quiver(x,y,t1,t2,'r');
%normal
quiver(x,y,-t2,t1,'b');
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off
title ('Curva, tangente y normal.');
5 Curvatura
5.1 Definición de la curvatura
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.
Su fórmula es:
[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]
Si lo desarrollamos:
[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]
5.2 Representación de la curvatura
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
6 Circunferencia Osculatriz
Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = [/math]
Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= [/math]
7 Información la sobre curva y relación con la ingeniería
8 Superficie reglada
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));
figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
9 Masa de la superficie
[math]Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\[/math]
[math]\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} [/math]
Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
