Prototipo 101

1 Introducción

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras muy importantes en las instalaciones industriales y su característico diseño optimiza la transferencia de calor. Su sección hiperbólica es ideal para reducir el uso de materiales de construcción y garantizar su resistencia frente a grandes vientos.

La geometría hiperbólica se ha estandarizado como la mejor solución para cumplir con estos requisitos. Su base ancha proporciona un área extensa para favorecer la evaporación del agua, mientras que el estrechamiento central incrementa la velocidad de disipación del aire. Además, la forma hiperbólica contribuye significativamente a la estabilidad estructural.

En este artículo se analizará un modelo estandarizado de torre de enfriamiento, definido por una altura total ([math]H[/math]), un radio máximo en la base (R_máx) y un radio mínimo (R_mín) que se alcanza a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math]. La superficie de la torre se describe matemáticamente mediante la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

[math]\dfrac{x^2+y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]

Sean [math]a, c, z_0\gt0[/math] unos valores a determinar

Sean en nuestro modelo R_máx[math]=50m[/math] ; R_mín[math]=20m[/math] ; [math]H=120m[/math]

2 Torre de enfriamiento y su geometría hiperbólica

Como se ha mencionado, la torre de enfriamiento sigue una geometría hiperbólica que se desarrollará en los siguientes puntos. Es importante aclarar que la torre es simétrica en [math]z_0[/math], pero su dominio va desde [math]z=0[/math] hasta [math]z=120[/math]. El [math]z_0[/math] marca la altura a la que se encuentra el radio mínimo (R_mín[math]) y se encuentra a \ltmath\gt\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math], es decir, a [math]80m[/math] del suelo. Es por ello que el radio de la base no coincide con el radio de la cúspide de la torre.

2.1 Parámetros y ecuación del hiperboloide

2.1.1 Significado de los valores

El valor de [math]a[/math] está asociado con las dimensiones de la torre en el plano [math]z[/math], que es el plano horizontal. Dicho valor controla el ancho horizontal de la figura y fija el radio mínimo (R_mín).

El valor [math]c[/math] determina cómo cambia la forma del hiperboloide a lo largo del eje [math]z[/math]. Regula la curvatura de la hipérbole en la dirección vertical.

El valor [math]z_0[/math] representa la altura a la que se encuentra el radio mínimo (R_mín) del hiperboloide respecto de la base. En nuestra torre de enfriamiento, esta altura se encuentra a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math].

2.1.2 Paso de coordenadas cartesianas a cilíndricas

Para encontrar los valores de [math]a, c, z_0\gt0[/math] primero pasaremos nuestra educación del hiperboloide de coordenadas cartesianas [math](x, y, z)[/math] a coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math]. Para ello, se tomará la ecuación en cartesianas y se realizarán las siguientes relaciones para transformarla en coordenadas cilíndricas:

[math]x=ρ·cos(θ) ; y=ρ·sen(θ) ; z=z[/math]

[math]sen(θ)^2+cos(θ)^2=1[/math]

[math]x^2+y^2=ρ^2·cos(θ)^2+ρ^2·sen(θ)^2=ρ^2·(sen(θ)^2+cos(θ)^2)=ρ^2[/math]

Por lo tanto la ecuación en coordenadas cilíndricas es:

[math]\dfrac{ρ^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]

2.1.3 Cálculo de valores

Para el cálculo de valores se deben resolver las siguientes dos ecuaciones con sus dos incógnitas [math]a[/math] y [math]c[/math]: