La catenaria. Grupo 9

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 9
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Pablo Fernández Tejedor Alicia Puerta Mir Judit de la Torre Martín Francisco de Asís Álvarez Romero Julián Ulanovsky Garzón Sofía Patiño Salazar
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Curva: la catenaria

La Curva "La Catenaria" se representa de la siguiente forma:

Representación gráfica de la catenaria

%Parametrización de la catenaria.
A=2;
t=linspace(-1,1,100);        %Discretización del intervalo.
xcat=t;
ycat=A*cosh(t./A);

%Representación de la curva.
plot(xcat,ycat,'r','LineWidth',1)

%Etiquetas.
title('Gráfica 1: Catenaria')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('La Catenaria')
legend('Catenaria');
axis equal
grid on

3 Longitud de la curva

La integral de línea se define:

[math]\int_\gamma f \,ds=\int_{t_1 }^{t_2}f\left(\overline{\gamma}(t)\right)\left|\overline{\gamma}'(t)\right|dt[/math].

Para calcular la longitud de una curva hay que tomar el campo escalar constante:

[math]f=1[/math]

El vector velocidad (su módulo):

[math] \overline{v}(t)= \overline{\gamma}'(t)=\left( \frac{dx_1 }{dt},\frac{dx_2 }{dt}\right) [/math].

La parametrización de la catenaria:

[math] \overline{\gamma}(t)=\left( t,A\cosh\left(\frac{t}{A}\right) \right) [/math].

Por lo tanto:

[math] \overline{\gamma}'(t)=\left( 1,\sinh\left(\frac{t}{A}\right) \right)[/math]

y su módulo:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)}[/math]

Echando mano de la identidad hiperbólica:

[math] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\to \cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]

sabemos que:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right) [/math].

El intervalo dado es:

[math]t\in [t_1,t_2]=[-1,1][/math] y [math] A=2[/math]

Ya se conocen todos los datos necesarios para realizar el cálculo.

[math] \int_{-1}^{1}\left| \overline{\gamma}'(t) \right|dt=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \to 2 \int_{0}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt = 2A \sinh\left(\frac{t}{A}\right) \bigg|_0^1 F = 2A \sinh\left(\frac{1}{A}\right) \approx 2.0844[/math].

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Propiedades circunferencia osculatriz

Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.

6.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz

En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:

[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Obteniendo:

[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]

Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.

Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

El radio obtenido es el siguiente:

[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]

6.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz

Circunferencia osculatriz

% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);

% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura

% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);

% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;

legend(['Circunferencia', 'Catenaria']);

7 Fenómeno descrito y aplicaciones en la ingenieria

7.1 Fenómeno que describe

7.1.1 Catenaria

La ecuación general de una catenaria es y(x)=acosh⁡(x/a), donde a>0 determina la forma de la curva. En este caso, a=2, y la curva se encuentra en el intervalo restringido t∈(−1,1). Esta curva aparece cuando una cadena flexible e inextensible se suspende de manera que sus extremos están fijos en posiciones diferentes. A diferencia de una parábola, la catenaria tiene propiedades especiales relacionadas con la minimización de energía potencial.

7.1.2 Propiedades físicas

La catenaria es la solución al problema de encontrar una curva que minimice la energía potencial gravitatoria de un cable homogéneo suspendido. Tiene una relación estrecha con las superficies mínimas, ya que la revolución de una catenaria genera una superficie llamada catenoide, que es una superficie mínima.

7.2 Relevancia en ingeniería

7.2.1 Puentes colgantes y estructuras

En ingeniería civil, los cables que soportan los puentes colgantes siguen, aproximadamente, la forma de una catenaria bajo su propio peso. Ejemplos famosos son:

1. El Golden Gate Bridge en San Francisco.
2. El Puente de Brooklyn en Nueva York.

7.2.2 Diseño arcos y cubiertas

Los arcos construidos siguiendo la forma de una catenaria son extremadamente estables bajo cargas uniformes. Esto se debe a que la curva catenaria distribuye las fuerzas de compresión de manera óptima. Por ejemplo:

1. El diseño del Arco Gateway en St. Louis, EE. UU., sigue una forma catenaria invertida.

7.2.3 Transmisión de energía

Las líneas eléctricas suspendidas entre torres de alta tensión también adoptan una forma similar a la catenaria debido a su peso y la tensión en los cables.

8 Usos en la ingeniería civil

La catenaria se utiliza, en el ámbito de la ingeniería civil, en las estructuras de los puentes.

Puente Colgante de Clifton

10 Superficie de revolución: el catenoide

10.1 Parametrización e importancia del catenoide

El catenoide es una superficie mínima o superficie minimal. Estos elementos bidimensionales tienen la propiedad de minimizan localmente su superficie, teniendo en cuenta algunas restricciones. Esto quiere decir que cualquier deformación por pequeña que sea aumentaría su superficie. Este tipo de superficies fueron propuestas en el siglo XVIII por Lagrange mediante una ecuación diferencial, pero no se probó que el catenoide pertenecía a esta familia hasta unos años más tarde.

La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, \cosh(t), t), \quad t \in (-1, 1) [/math]

Para obtener la superficie, se parametriza el catenoide de la siguiente manera:

[math] \phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (\cosh(u) \cdot \cos(v), \cosh(u) \cdot \sin(v), u) [/math]

10.2 Representación gráfica del catenoide

Catenoide

% Parametrización de la superficie
u=linspace(-1,1,100)
v=linspace(0,2*pi,100)
[U,V]=meshgrid(u,v)
X=cosh(U).*cos(V)
Y=cosh(U).*sin(V)
Z=U
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X,Y,Z)
title('Superficie de Revolución de la catenaria: catenoide');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
axis equal;
shading flat;
grid on;

10.3 Aplicaciones del catenoide en ingeniería civil

El catenoide se aplico en una gran cantidad de obras en la ingeniería civil. El hecho de que sea una superficie minima, permite reducir costos y es muy útil sobre todo en techos y membranas tensadas. Los siguientes son ejemplos de obras en las que se utilizo (en parte) esta superficie:

Puente de la Barqueta. Sevilla, España

Pabellón Philips. Bruselas, Bélgica

Parametric Lampchairs. Venecia, Italia

12 Referencias

1.https://www.youtube.com/watch?v=gWjVQXsJ9Fk. Circunferencia osculatriz.

2.https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/22955/PerezDeDiegoBarbara-TFG-Matematicas.pdf?sequence=1. Superficies minimales.