Flujo de Poiseuille (GRUPO 15)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Deformaciones de una placa plana. Grupo 15-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Daniel Alvelo Guerrero Ricardo Lluch Cardenal Eduardo Ovies Ramos Kevin Rosales Zambrana |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
La ley de Poiseuille determina el flujo laminar en un tubo con sección cilíndrica constante que describe el movimiento de un fluido viscoso (newtoniano) bajo condiciones estacionarias en el interior del conducto. Supondremos en este caso que esta centrado en el eje OZ con radio 3.
Hallamos con la función velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] sus respectivas gráficas y estudiaremos los vectores ortogonales de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math].
Además analizaremos la temperatura: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] para obtener el rotacional y sus campos de temperaturas.
Para este artículo, hemos hecho uso del programa Matlab para la representación grafica de los resultados, con el fin de visualizar mejor las interpretaciones de dicha Ley.
2 Sección transversal
A continuación, se presenta un dibujo del perfil longitudinal de una tubería, el cual permite una representación gráfica. Este perfil es fundamental para entender la geometría de la tubería, facilitando su análisis y visualización. A través de esta representación, se puede observar un radio de 3 y una altura de 10.
%Se crea el mallado en 2D
rho=0:0.2:3;
z=0:0.2:10;
[x,y]=meshgrid(rho,z);
%Representamos la tubería
hold on
mesh(x,y,0.*x);
%Región en la que se va a representar
axis([0,4,0,10]);
%Dar nombre a los elementos que se van a contemplar en la gráfica
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
title ('Mallado de la sección longitudinal');
hold off
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos incompresibles y viscosos, se consideran fuerzas como la presión, la viscosidad y fuerzas externas. Son fundamentales en dinámica de fluidos para modelar fenómenos como flujos laminares, turbulentos y transporte en diversos medios. Con la ecuación de la velocidad de partículas [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] donde [math]p_{1}[/math] es la presión en [math]z = 1[/math], [math]p_{2}[/math] en [math]z = 5[/math] y [math] \mu [/math] es la viscosidad.
La ecuación de Navier-Stokes : [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math].
Donde [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] satisface esta ecuación la cual es independiente del tiempo y se desprecia el primer termino
Se comprobara que [math]\vec{f}(\rho)[/math] cumpla la ecuación:
Resolvemos:
- 1) Multiplicamos por [math] \rho[/math]
- [math] \frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)=\rho\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} [/math]
- 2) Integramos
- [math]\int_{}^{}\frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)\partial\rho=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\int_{}^{}\rho\partial\rho[/math]
- [math]\rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} + C_{1} [/math]
- [math] \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho}{2} + \frac{C_{1}}{\rho} [/math]
- 3)Integramos por segunda vez [math]\int_{}^{}[/math]
- [math]\int_{}^{} \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho }\partial \rho = \frac{\left ( p_2-p_1 \right )}{\mu} \cdot \int_{}^{}(\frac{\rho}{2} + \frac{C_1}{\rho}) \partial \rho[/math]
Obtenemos la función: [math] {f(\rho)} = (\frac{p_2-p_1}{\mu})\frac{\rho^{2}}{4} + C_1\ln(\rho) + C_2[/math].
Tomamos valor [math]\rho = 3 , \rho= 0[/math] para encontrar valor a las constantes [math] C_1, C_2 [/math] donde la velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] es nula.
- Condición 1:[math] f(\rho) = 0 [/math]para[math] \rho = 3:[/math]
- [math]0 = \frac{3^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_1 \ln(3) + C_2.[/math]
- Condición 2: [math]f(\rho)[/math] no diverge para [math]\rho = 0:[/math]
- Para evitar divergencias, se impone [math]C_1 = 0[/math], ya que el término [math]\ln(\rho)[/math] diverge cuando [math]\rho \to 0[/math].
- Sustituyendo [math]C_1 = 0[/math] en la ecuación:
- [math]0 = \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_2[/math].
- De aquí, se obtiene:
- [math]C_2 = -\frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]
La solución final es:
[math]
f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} - \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]
Verificamos la condición de incomprensibilidad, que establece que el fluido debe conservar su volumen
donde [math]\nabla \cdot \mathbf{u} [/math] es la divergencia del campo de velocidad de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] lo que significa que solo tiene componente en la dirección [math]z [/math] y esta depende únicamente de [math] \rho [/math].
Por lo tanto, todos los términos de la divergencia son cero, y se verifica que el fluido es incompresible.
4 Representación de los campos de presiones y velocidades
4.1 Campo de presiones
Para analizar el campo de presiones, es esencial estudiar cómo varía la presión con respecto a la altura. Observamos que existe una relación lineal entre ambas magnitudes: a mayor profundidad, mayor es la presión, y, de manera inversa, al reducir la profundidad, la presión también disminuye.
La presión en el fluido está dada por la ecuación: [math]p(x, y) = p_1 + \left(p_2 - p_1\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]
Sustituyendo los valores [math]p_1 = 2 [/math] y [math]p_2 = 6[/math] [math]\to p(x, y) = 2 + \left(6 - 2\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]
Simplificando: [math]p(x, y) = 2 + 4 \cdot \frac{(z - 1)}{4}.[/math]
Finalmente, obtenemos: [math]p(x, y) = z + 1.[/math]
Por lo tanto, el campo de presiones muestra que la presión depende linealmente de la altura [math]z[/math]. A medida que [math]z[/math] aumenta, la presión también lo hace, y viceversa.
clear all;
z=0:0.1:10;
f=z + 1;
plot(z,f)
xlabel('Variación de altura');
ylabel('Variación de presión');
title(' Gráfica del campo de presiones');
4.2 Campo de velocidades
El campo de velocidad está centrado en la componente axial [math]\mathbf{u_z}[/math] que depende de la coordenada radial [math]\rho[/math], lo que significa que la velocidad aumenta al alejarse del centro.
Está definido como:[math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = f(\rho) \mathbf{e}_z,[/math]
donde: [math]f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4\mu} - \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4\mu}.[/math]
Sustituyendo [math]p_1 = 2, p_2 = 6,[/math] y [math] \mu = 1[/math] [math]\to f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \cdot 1 - \frac{9}{4} \cdot 1.[/math]
Simplificamos: [math]f(\rho) = \frac{\rho^2 - 9}{4}.[/math]
Por lo tanto, el campo de velocidad es: [math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = \frac{\rho^2 - 9}{4} \mathbf{e}_z.[/math]
% Campo de Velocidad
rho = linspace(0, 5, 100); %radio
f(rho) = (rho.^2 - 9) / 4;
figure;
plot(rho, f(rho), 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('Coordenada radial (\rho)');
ylabel('Velocidad axial (u_z)');
title('Campo de Velocidad');grid on;
5 Líneas de corriente
Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], es decir, las líneas tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cada punto.
Calculamos el campo [math]\overrightarrow{v}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math]. Siendo [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{u}[/math]. El campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es irrotacional por ser nula la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] y ,además, tiene un potencial escalar [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math]), que se conoce como función de corriende de [math]\overrightarrow{u}[/math].
6 Velocidad máxima del fluido y módulo de la velocidad
Para calcular la velocidad máxima se deriva la función [math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = \frac{\rho^2 - 9}{4} \mathbf{e}_z.[/math] en función de [math] \rho [/math]:
Despejando, nos queda que la velocidad es máxima cuando [math] \rho =0 [/math]
p=0:0.05:4; %Definimos rho
u=abs((p^.2-9)/4); %Definimos funcion de velocidad
plot(p,f);
xlabel('p')
ylabel('Módulo de u')
title('u=(p.^2-9)/4')
La gráfica confirma lo que hemos calculado analíticamente.
7 Rotacional
Para hallar el rotacional simplemente usamos la fórmula:
Sustituyendo en la fórmula con nuestros datos, nos queda:
Desarrollando el determinante obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{-\rho}{2})\vec{e_\theta}[/math],
8 La Temperatura
La temperatura es una de las muchas interpretaciones del campo escalar, ya que se le asocia una aplicación lineal [math]\mathrm{T} : \mathbb{R}^3 \Rightarrow \mathbb{R}^1[/math] la cual tiene como entrada y salida magnitudes escalares. Sus entradas más habituales son el tiempo y la posición. No obstante, la temperatura del fluido nos viene dada por el campo escalar: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] . Si se pone atención a la función, la variable [math]\theta[/math] es nula, por lo que z y [math]\rho[/math] crean un mallado 2D que se alzará dependiendo de la temperatura en cada punto.
A continuación, se pretende representar en 2D un gráfico a color de la temperatura y otro que refleje sus curvas de nivel como ayuda para la interpretación de dicho campo. Para determinar donde la temperatura es máxima gráficamente vale con ver el gráfico de matlab, también se puede calcular con el gradiente igualando al 0. Se aclara que el gráfico no trabaja con coordenadas cartesianas, sino con coordenadas polares.
x = 0:0.1:3;
y = 0:0.1:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
%T=exp((1+X).*2)-(Y-2).^2;
%T=exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
%T=2.*exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
[T_max, idx_max] = max(T(:));
[row_max, col_max] = ind2sub(size(T), idx_max);
hold on
pcolor(X, Y, T);
shading flat
grid on
axis([0, 4, 0, 10]);
colorbar;
title('Campo de temperaturas')
xlabel('ρ')
ylabel('z')
plot(X(row_max, col_max), Y(row_max, col_max), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
hold off;
9 Gradiente de la Temperatura
El gradiente de temperatura (\(\nabla T\)) nos dice cómo varía la temperatura en función de cada punto y de sus coordenadas \((\rho, \theta, z)\). Esta temperatura viene expresada en función de coordenadas cilíndricas, luego para calcular el gradiente de la temperatura utilizaremos la siguiente fórmula.
Nos queda el siguiente resultado:
Para expresar gráficamente el gradiente se ha utilizado el siguiente código en Matlab:
rho=0:0.1:2; %Definino la 'rho'
z=0:0.1:10; %Definino la 'z'
[RHO,Z]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=log(1+RHO).*exp(-(Z-2).^2); %Se define la función de Temperatura
[TRHO,TZ]=gradient(T); %Se define la función gradiente
hold on
quiver(RHO,Z,TRHO,TZ) %Muestra en la gráfica el campo gradiente
xlabel('rho');
ylabel('z');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de la Temperatura')
shading flat
grid on
hold off
Para expresar gráficamente el gradiente junto con las curvas de nivel se ha utilizado el siguiente código en Matlab:
rho=0:0.1:2; %Definino la 'rho'
z=0:0.1:10; %Definino la 'z'
[RHO,Z]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=log(1+RHO).*exp(-(Z-2).^2); %Se define la función de Temperatura
[TRHO,TZ]=gradient(T); %Se define la función gradiente.
hold on
quiver(RHO,Z,TRHO,TZ) %Muestra en la gráfica el campo gradiente
contour(RHO,Z,T,'k') %Muestra encima del campo gradiente las curvas de nivel
xlabel('rho');
ylabel('z');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de la Temperatura con Curvas de nivel')
shading flat
grid on
hold off
El hecho de que el gradiente sea ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura refleja que el calor fluye en la dirección de mayor cambio de temperatura, que es perpendicular a las zonas de temperatura constante descritas por las curvas de nivel. Aquello que refleja un mayor cambio; el gradiente; es perpendicular a aquello que describe la ausencia de cambio (temperaturas constantes); las curvas de nivel.
