La clotoide (Grupo 40)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 40
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,L) [/math]

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos matlab. (L=5)

Dibujo de la curva

t = linspace(0, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) [/math]

Calculo vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Calculo vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

t = linspace(0, 5, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 [/math]

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Curva vector tangente y normal

t = linspace(0, 5, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] [/math]

Dibujo de la curvatura

t=linspace(0,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el punto [math] P=\gamma (2) [/math], es decir [math] t=2 [/math], hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:

El radio:

[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1/2 [/math]

El centro:

[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math]

[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]

Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:

[math] c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) [/math]

[math] c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] [/math]

Archivo:1.6666

Circunferencia osculatriz

t = linspace(0, 5, 2000);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2); 
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

1.7 Definición e información relevante sobre la clotoide

La clotoide es una curva matemática, cuya principal característica es que su curvatura cambia de manera gradual. En otras palabras, una clotoide es una curva cuya tasa de cambio de curvatura es constante, lo que significa que la transición entre una curva recta y una curva circular que ocurre de manera progresiva y no abrupta.

Esta curva es usada en el ambiente de la ingeniería destacando carreteras, ferrocarriles, y diseño de pistas de aeropuertos. El concepto de clotoide fue desarrollado en el siglo XVIII por el matemático alemán Leonhard Euler quien la uso en caminos y ferrocarriles

2 Helicoide cónico

2.1 Dibujo de la superficie

En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico

• La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:

[math] \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) [/math]

En función de u y v:

[math] \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) [/math]

Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:

[math]\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) [/math]

Porque el vector director eρ en cartesianas es [math] cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j [/math] y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

Dibujo de la superficie

u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100);     % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v);   % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie 
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar; 
c.Label.String='Valores en Z'; 
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y'); 
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica'); 
grid on;

3 Masa de la superficie reglada.

Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:

[math]f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2[/math]

Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:

Masa [math]S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv[/math]

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :

[math] \phi (u,v)\begin{cases} x=cosv+u\cdot cosv \\ y=senv+u\cdot senv\\ z=v \end{cases} [/math]

El vector de posición esta dado por:

[math] \vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k} [/math]

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

[math] \vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j} [/math]

[math] \vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k} [/math]