El vórtice de Rankine (Grupo 19)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El vórtice de Rankine (Grupo 19)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Carlota Bascón Claudia Sanz Carlos Mínguez Ana Aboitiz Javier Romero
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo teórico desarrollado por el físico William John Macquorn Rankine utilizado en la dinámica de fluidos para modelar el movimiento de un fluido en un vórtice ideal. Incluye dos tipos de comportamiento. En el núcleo del vórtice, el fluido gira como un sólido rígido con velocidad angular constante. Fuera del núcleo, el fluido se comporta como un vórtice libre, donde la velocidad disminuye (hasta ser irrotacional) conforme aumenta la distancia al centro.

Este modelo se utiliza para estudiar fenómenos como huracanes, tornados o corrientes giratorias, así como en el análisis de fluidos en turbinas u otros procesos industriales donde se forman vórtices. En este trabajo analizaremos el huracán Camille, que azotó Estados Unidos en el año 1969.

2 Campo de velocidad

El campo de velocidad puede describirse en dos regiones diferentes: el núcleo del vórtice y la parte exterior de este. Se define en coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜽,z) como V⃗ = v𝜌e⃗𝜌 + v𝜽e⃗𝜽 + vze⃗z , donde:

¿Por qué la gráfica en un plano paralelo al suelo es mas favorable?

Esto se debe a que los vórtices de este tipo suelen tener una estructura que visualiza mas fácilmente en un plano horizontal (en el plano (r,θ) en este caso). A nivel del suelo, el vórtice se analiza principalmente observando como cambia la velocidad tangencial y la presión, sin considerar los efectos de la componente vertical en la dirección z. La componente vertical esta relacionada con la altura del ojo del vórtice. En este caso no es necesaria ya que estamos observando únicamente las dos regiones donde la velocidad se comporta en diferentes formas. Ademas este tipo de visualización del vórtice ayuda a la hora de realizar propiedades relacionadas con la circulación, ya que se pueden observar claramente las líneas de flujo.

% Parámetros del huracán Camille
 R = 46.3; % Radio del núcleo en km
 v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
 Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
 n = 100; % Número de puntos
 rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
 theta = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
 [Mrho, Mtheta] = meshgrid(rho, theta); % Mallado en coordenadas polares
 x = Mrho .* cos(Mtheta); % Coordenadas x
 y = Mrho .* sin(Mtheta); % Coordenadas y

 % Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior

% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtheta);
Vy = Vtheta .* cos(Mtheta);

% Grafica
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine del Huracán Camille');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

La gráfica (figure 1) muestra dos zonas: una interna, cuando r≤R (representada en rojo) donde la velocidad tangencial es constante y otra externa, cuando r≥R (representada en azul) donde la velocidad disminuye con el radio. Se puede apreciar con facilidad las dos zonas distintas gracias al uso de una gráfico en el plano (r,θ).

Dato interesante: La segunda gráfica (figure 2) muestra cómo la velocidad del vórtice varía con respecto al aumento del radio. Sin embargo es lo único que se puede observar, ya que no se aprecian ni las líneas de flujo, ni la distribución de velocidades, por eso utilizamos tráfico mostrando el plano horizontal.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

DIVERGENCIA
La divergencia de un campo de velocidades representa la tasa de contracción y expansión del flujo en un punto conocido. En el vórtice de Rankine el campo dado es incompresible, debido a que no hay cambio en el volumen del flujo. Esto implica que el flujo no crea ni elimina volumen, circula alrededor del eje. Este comportamiento es típico de los vórtices, en los cuales el fluido rota sin comprimirse ni expandirse. La divergencia en coordenadas cilíndricas para un campo de velocidad:

[math]\triangledown .\vec{V}(r,\theta ,z)= \frac{1}{r }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial r}(r \upsilon _{r}) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Donde:

[math]\upsilon _{r }[/math] es la componente radial de la velocidad.

[math]\upsilon _{\theta }[/math] es la componente tangencial de la velocidad.

[math]\upsilon _{z }[/math] es la componente vertical de la velocidad.

En el caso del vórtice de rankine:

En el interior del vórtice: [math]\upsilon _{r }[/math]=0 y [math]\upsilon _{z }[/math] = 0 (no hay ni flujo vertical ni radial).
En el caso de la componente tangencial [math]\upsilon _{\theta }[/math] depende de r, por lo tanto la derivada con respecto a {\theta } es cero.
Por lo tanto el resultado de la divergencia del vórtice de Rankine es:

[math]\text{div}(\vec{v}) = 0[/math]

Demostrando que el campo es incompresible.

ROTACIONAL
El rotacional de un campoo de velocidades muestra la "voracidad" de su flujo, esto es la medida de "rotación" del campo. En el caso que estamos estudiando, el rotacional solo tiene una componente en la dirección vertical [math]\upsilon _{z }[/math], lo que confirma que el vórtice solo gira alrededor de su eje. La voracidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio r, esto significa que cuanto ma lejos nos encontramos del centro del vórtice, la intensidad de su rotación disminuye. El teorema de Stokes se puede utilizar para observar la interpretación física del rotacional de un campo vectorial.

El rotacional del campo de velocidad en coordenadas cilíndricas: [math] \vec{\nabla} \times \vec{v} = \left( \frac{1}{r} \frac{\partial v_z}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial z} \right) \hat{e_r} + \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \hat{e_\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right) \hat{e_z}\ [/math]

Como hemos mencionado previamente, [math]\upsilon _{r }[/math]=0 y [math]\upsilon _{z }[/math] = 0 y [math]\upsilon _{\theta }[/math] solo depende de r, asi que el rotacional se puede simplificar:

[math]\ \vec{\nabla} \times \vec{v} = \frac{\Gamma}{2 \pi r^2} \hat{e_z} [/math]
Esto indica que la componente de dirección z tiene una magnitud [math]\frac{\Gamma}{2 \pi r^2}[/math], que explica la intensidad de la rotación del vórtice de Rankine. Esta disminuirá cuanto mayor sea la distancia desde el centro del vórtice.

% Parámetros del vórtice
 Gamma = 1.0; % Circulación máxima
 R = 1.0;     % Radio del ojo del vórtice
 rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
 g = 9.81;    % Gravedad (m/s^2)
  
 % Rango de coordenadas en 2D
 x = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas X
 y = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);
 
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R);         % Fuera del ojo
 
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta);  % Componente Y


% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0;                  % Cero fuera del ojo

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('default');
title('Rotacional');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

4 Comportamiento de una barca según su posición respecto al vórtice

Un objeto, según la zona en la que se encuentre respecto al vórtice de Rankine, tendrá un comportamiento u otro. En este caso, estudiaremos el movimiento de una pequeña barca.

1. Comportamiento de la barca en el ojo de vórtice (región interior): En el ojo del vórtice, el flujo del fluido es parecido al de un sólido en rotación. La velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro, lo que hace que cualquier objeto (en este caso, la barca) experimente una rotación uniforme. La barca rotará sobre su propio eje. Esto ocurre porque todas las partes de la barca se mueven con la misma velocidad angular, por lo que su orientación cambia continuamente.

2. Comportamiento de una barca en la región exterior del vórtice: En este caso, el flujo se comporta de manera irrotacional, lo que significa que la velocidad tangencial del fluido disminuye a medida que el objeto se aleja del centro, (es decir, la velocidad es inversamente proporcional a la distancia al ojo del vórtice). Aunque el fluido tiene un movimiento circular, no induce ninguna rotación sobre un objeto flotante (en nuestro caso, la barca). En consecuencia, la barca no girará sobre sí misma, y se mantendrá paralela a una dirección fija mientras gira alrededor del vórtice. Esto sucede porque el flujo irrotacional no ejerce un momento que haga rotar a la barca sobre sí misma, es decir, su orientación relativa permanece constante.

5 Campo de Presión

Primero debemos definir los parámetros y las ecuaciones de presión según el modelo de Rankine:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]

6 Flujo de masa a través de una superficie dada

El flujo de masa se define como:

[math] \dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS [/math]

Para calcular el flujo de masa a través de una superficie dada, es necesario integrar el producto de la densidad 𝜌 y el flujo de velocidad [math]\vec{v}[/math] a través de esta superficie. En este caso, la superficie de integración es un trozo de plano definido por:

• 0≤r≤2R
  
• 0≤z≤z_0