La Clotoide (Grupo 25)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Clotoide (Grupo 25)
Asignatura	Teoría de campos
Curso	2024-25
Autores	Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción.

De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

Dada una función

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5) [/math]

La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide

clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 5;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;

3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide

% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;

4 Longitud de la curva.

La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt [/math]

Como se ha plasmado en el apartado anterior:

[math] \vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]

Cuyo módulo es:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]

Por tanto la longitud es:

[math] L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5 [/math]

5 Vectores tangente y normal.

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

[math]\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1} [/math]

[math]\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}} [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;

6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

[math] k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t [/math]

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura

% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t);
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dada esta definición y dado P= [math] \gamma (2) [/math], es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}[/math]

[math]Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)[/math]

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

[math]R(2)=\frac{1}{2}[/math]

[math]Q(2) = \left\{\begin{matrix} Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\ Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2}) \end{matrix}\right.[/math]

Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva

%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off

8 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

9 Ejemplos en Ingeniería Civil.

Curva circuito Silverstone

Puente Vasco da Gama (Portugal)

Autopista del Sol (México)

Viaducto de Brusio (Suiza)

10 Superficie Reglada.

Se considera la helice cónica representada por:

[math] \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) [/math]

Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector [math]\bar{e}_p [/math], se hace lo siguiente:
1) Se parametriza la curva segun v:

[math] \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) [/math]

2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector [math]\vec{e_{\rho}} [/math] de cilíndricas a cartesianas:

\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}

Por lo tanto [math]\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} [/math]

3) Sustituir todos los valores en la formula [math] \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) [/math] :

[math]\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} [/math]

Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:

Figura 6: Hélicoide cónica

clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;

A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

Escalera

Tornillo

Torre espiral (Dinamarca)

Helicoide de Caracas (Venezuela)

11 Masa de la superficie reglada.

Dada la función de densidad [math] f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2[/math], para calcular la masa, se usaremos la expresion

[math] Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv[/math]

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de [math]\phi'_u [/math] y [math]\phi'_v [/math] y despues [math]| \phi '_u\times\phi '_v \right |[/math]

[math] \phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}[/math] [math] \phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k} [/math] [math] | \phi '_u\times\phi '_v \right | Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:[/math]