Grupo 38 Cicloide

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 38
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Esteban Espinoza Villanueva Alejandro Trejo Meseguer Antonio García del Pozo García Liam O'Hea Kith
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;

2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva cicloide es (teniendo en cuenta que el radio es R=2): [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(1-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) [/math]

Podemos obtener los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{\frac{d \gamma(t)}{dt}}{\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|}=(2-2cos(t),2sen(t))[/math]

[math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{\frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt}}{\left| \frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt} \right|}=(2sen(t),2cos(t))[/math]
Y lo representaremos usando el programa:

% Parámetros dados
R = 2;                % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t);       % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t);       % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t);       % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal; 
hold off;

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Para calcular la longitud de la curva usaremos: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]

Y para calcular la longitud deberemos resolver la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}2\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]
Para lo cual usaremos Matlab a través del siguiente programa:

f = @(t) 2*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;  
b = 2*pi;  
n = 1000;  
h = (b - a) / n;  %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;  
y = f(x);   
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);

Así, resulta que la longitud de la curva es: L=16u

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo:[math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{n(t)}[/math]
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
[math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]
Realizando las operaciones:
[math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{2-2cos(t)}{\sqrt{cos(t)^{2}-16cos(t)+1}}\overrightarrow{k}[/math]
Así, obtendremos:
[math]\overrightarrow{n(t)}=\frac{sen(t)(2cos(t)-2)}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{(-i)}+\frac{(2cos(t)-2)(1-cos(t))}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{j}[/math]
[math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{1-cos(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{i}+\frac{sin(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{j}[/math]

5 Curvatura de k(t) y su gráfica.

La curvatura k(t) es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma. Esta función viene definida por la expresión

{{{codigo}}}

7 Información sobre el cicloide, aplicaciones en la ingenieria civil y propiedades matemáticas.

Hola, esto debería estar en negritahola estoy probando

8 Uso de cicloides en estructuras civiles

==Cicloide en R3