Grupo 38 Cicloide

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 38
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Esteban Espinoza Villanueva Alejandro Trejo Meseguer Antonio García del Pozo García Liam O'Hea Kith
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;

2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva cicloide es (teniendo en cuenta que el radio es R=2): [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(1-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) [/math]

Podemos obtener los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{\frac{d \gamma(t)}{dt}}{\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|}=(2-2cos(t),2sen(t))[/math]

[math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{\frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt}}{\left| \frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt} \right|}=(2sen(t),2cos(t))[/math]
Y lo representaremos usando el programa:

% Parámetros dados
R = 2;                % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t);       % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t);       % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t);       % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal; 
hold off;

Archivo:Fotociloide.png

fotocicloide.jpg

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Para calcular la longitud de la curva usaremos: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]

Y para calcular la longitud deberemos resolver la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}2\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]
Para lo cual usaremos Matlab a través del siguiente programa:

Así, resulta que la longitud de la curva es: L=