Espiral de Ekman (grupo 20, Retiro)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Espiral de Ekman. Grupo 20.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Aitor Amunarriz López Daniel García Martínez Federico Flores Rohde Jesús Rivero López
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1. Pequeña animación mostrando el campo vectorial [math]\vec{v}[/math] (flecha de color) respecto a profundidades descendentes, siguiendo la espiral de Ekman (curva negra). El viento es representado por la flecha negra (de norte a sur) y el color de [math]\vec{v}[/math] varía respecto a la profundidad

Representación tridimensional de la Espiral de Ekman. Las flechas indican el campo vectorial [math]\vec{v}[/math] según la profundidad, cambiando de color acordemente.

La espiral de Ekman es el resultado del perfil de velocidades respecto a la profundidad de una columna de agua gracias al efecto Ekman. Este es causado por un viento constante que sopla sobre la superficie del océano, induciendo una corriente que, debido a la fuerza de Coriolis, se desvía gradualmente. La alta viscosidad del agua provoca una discordancia entre la dirección de la velocidad entre una capa y otra.

El flujo neto se conoce como transporte de Ekman.

El fenómeno fue por primera vez descrito por el explorador noruego Fridtjof Nansen en una de sus misiones por el océano Ártico. Notó que los icebergs y distintos témpanos de hielo no seguían necesariamente la dirección del viento. El concepto fue formalizado por su estudiante, Vagn Walfrid Ekman, en 1905, aportando el planteamiento matemático necesario.

Con el objetivo de describir el perfil de velocidad [math]\vec{v} = u\vec{i} + v\vec{j}[/math], Ekman trabajó con la ecuaciones que nacen del equilibrio entre la fuerza Coriolis, la viscosidad del agua de mar y la velocidad inducida del viento, de manera que:

[math]\frac{d^2 u}{d z^2} = - \frac{f}{\upsilon_e}v[/math],[math]\ \ \frac{d^2 v}{d z^2} = \frac{f}{\upsilon_e}u[/math],

con [math]f[/math] el parámetro de Coriolis definido como [math]f=2\Omega \sin(\phi)[/math], siendo [math]\Omega[/math] la velocidad angular de la Tierra (unos 7.2921·10^-5 rad/s) y [math]\phi[/math] la latitud, y [math]\upsilon_e[/math] la viscosidad turbulenta del agua.

La solución ofrecida por Ekman a estas ecuaciones diferenciales tomaban la siguiente forma en función de la profundidad [math]z[/math], conocidas además la fase inicial [math]\vartheta[/math] y la velocidad superficial inducida por el viento [math]V_0[/math]:

[math]u(z)=sgn(f)V_0 e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)[/math],

[math]v(z)=V_0 e^{\frac{z}{d_E}}\ \sin\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta \right)[/math]

El término [math] d_E [/math], conocido como profundidad de Ekman, es la profundidad máxima a la que se considera la influencia del viento y la fuerza Coriolis sobre el movimiento del agua. Se define como:

[math]d_E=\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}[/math]

1 Influencia del parámetro de Coriolis [math]f[/math]

Como se puede notar en la solución de [math]u[/math], se ha de tener en cuenta el signo del parámetro de Coriolis para poder conocer verdaderamente el desplazamiento de la velocidad. Dentro de la definición del parámetro [math]f[/math] ([math]f=2\Omega \sin(\phi)[/math]), el seno de [math]\phi[/math] toma valores entre -1 y 1 dependiendo de la latitud. Esta se define a su vez entre -90º y 90º (90ºS y 90ºN, que, en radianes, [math]-\frac{\pi}{2}[/math] y [math]\frac{\pi}{2}[/math]). Los valores entre [math]\frac{\pi}{2}[/math] y 0 corresponden a latitudes entre el polo norte y el ecuador , es decir, al hemisferio norte, y, por tanto, a valores positivos de [math]f[/math]. En cambio, en el hemisferio sur se darán valores negativos de este. El parámetro es nulo exclusivamente en el ecuador.

El signo de [math]f[/math] se aplica en la solución de la ecuación mediante la función signo ([math]sgn(f)[/math]).

Para ejemplificar, en una latitud de 45ºN, [math]f=7.2921·10^{-5} \ rad·s^{-1}·\sin(\frac{\pi}{4})\approx 10^{-4} \ rad·s^{-1}[/math], que sería un valor estándar.

2 Importancia del valor de [math]\vartheta[/math]

Diagrama de las condiciones explicadas. El viento corre de norte a sur representado por la flecha negra. La velocidad superficial (verde) se desvía 45º a la derecha.

El valor de [math]\vartheta[/math] es también se suma importancia para la definición de la espiral de Ekman. Se trata de una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuera de Coriolis.

Si, por ejemplo, nos encontramos a la latitud del ejemplo anterior, asumiendo una viscosidad turbulenta de unos 0.1 m²/s, una velocidad del viento de 10 m/s soplando de Norte a Sur, induciendo en la superficie una velocidad aproximada de 0.2 m/s y un desvío aproximado de 45º hacia la derecha respecto a la dirección del viento, se intuye que:

• El valor [math]z=0[/math].
• El cociente [math]\frac{v(z)}{u(z)} = \tan(45º) = 1. [/math]
• Se da que [math]f \gt 0 [/math] de manera que [math]sgn(f) = 1[/math]

Resolvemos:

[math]\frac{v(z)}{u(z)} = \frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}}\ \sin\left(\vartheta\right)}{V_0 e^{\frac{0}{d_E}}\ \cos\left(\vartheta\right)} = \tan(\vartheta) = 1 \Rightarrow[/math] [math]\vartheta = \left\{ \begin{aligned} \frac{\pi}{4}\\ \frac{3\pi}{4} \end{aligned} \right. [/math]

Atendiendo al diagrama, como tanto [math]u(z)[/math] como [math]v(z)[/math] son negativos, la solución correcta para [math]\vartheta[/math] es [math]\frac{3\pi}{4}[/math].

3 Solución a las ecuaciones diferenciales de Ekman

Para comprobar que Ekman, efectivamente, no se equivocaba con su planteamiento, es un buen ejercicio verificar que [math]u(z)[/math] y [math]v(z)[/math] son auténticamente la solución a las ecuaciones diferenciales planteadas. Es cuestión de derivar dos veces cada solución respecto de [math]z[/math] cada ecuación.

Por su parte, [math]u(z)[/math]:

[math] \frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) [/math]

[math] \frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) [/math]

Como [math]d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}[/math]:

[math] \frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right) [/math]

Ordenamos un poco, eliminando el valor absoluto de [math]f[/math] a la vez que la función signo, ahora inútil:

[math] \frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right) = -\frac{f}{\upsilon_e}·v [/math]

Que es nuestro planteamiento inicial.

Haciendo lo propio con [math]v(z)[/math]:

[math] \frac{dv}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)+sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) [/math]

[math] \frac{d^2v}{dz^2} = 2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) [/math]

Igual aplicación de la definición de [math]d_E[/math]:

[math] \frac{d^2v}{dz^2} = V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) = \frac{f}{\upsilon_e}·u [/math]

Demostrando así que las soluciones son correctas.

4 Representación del campo vectorial [math]\vec{v}[/math]

Existen diversas e interesantes maneras de analizar el fenómeno descrito por Ekman, cada una de las cuales ofrece perspectivas valiosas y complementarias para su comprensión. La espiral, concebida como una estructura en tres dimensiones, resulta particularmente interesante al ser estudiada también desde una vista en planta, ya que esta proyección bidimensional permite observar patrones que pueden pasar desapercibidos en su representación tridimensional.

Con el objetivo de brindar una comprensión más completa, a continuación, se presentan los códigos correspondientes a ambas formas en las que se ha intentado ilustrar y explicar la curva mostrada en las figuras anteriores.

• El código para la animación observada desde el cenit, de manera que [math]\vec{v}[/math] varía con la profundidad y es representada mediante una flecha de color cambiante (siguiendo los parámetros ejemplificativos anteriormente descritos):

dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Definición de dE
z = linspace(0, dE, 50); 
% Definición de la curva
x = 0.2*exp(z / dE).*cos(z/dE+3/4*pi);
y = 0.2*exp(z / dE).*sin(z/dE+3/4*pi);


plot(x,y, 'k', 'LineWidth', 1)

u = 0.2*exp(0/dE)*cos(0/dE+3/4*pi); 
v = 0.2*exp(0/dE)*sin(0/dE+3/4*pi);


hold on
h = quiver(0,0,u,v, 0, 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.2);
quiver(0, 0.15, 0, -0.05, 'k', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.7)


% Contador para la profundidad
n=1;
z_text = text(-0.5, 0.16, sprintf('z = %.2f m', z(n)), 'FontSize', 12, 'Color', 'k', ...
    'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'top');

set(gca, 'XAxisLocation', 'origin', 'YAxisLocation', 'origin', 'XColor', 'none', 'YColor', 'none')
axis([-0.6 0.1 -0.2 0.2])


% Variación de color de la flecha
cmap = jet(length(z)); 


for n = 1:length(z)

    %Vectores 
    u = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*cos(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi); 
    v = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*sin(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi);
    h.UData = u; h.VData = v;

    % Color de vector
    color = cmap(n, :); 
    h.Color = color; 
    
    % Actualizar z
    z_text.String = sprintf('z = %.2f m', z(n));
    pause(0.1);
    
    exportgraphics(gca,"EkmanA4AitorA.gif", "Append",true)

end

• En cambio, el ofrecido para una vista tridimensional isométrica de la curva:

% Variables
k = 20 * sqrt(5);
cz = linspace(-k, 0, 10);
x = zeros(1, 30);
y = x;

% Coordenadas de la espiral
for i = 1:length(cz)
    z = cz(i);
    cx(i) = 0.2 * exp(z / k) * cos((z / k) + 3 * pi / 4);
    cy(i) = 0.2 * exp(z / k) * sin((z / k) + 3 * pi / 4);
end

cmap = flipud(jet(length(cz))); 

% Graficar
figure;
hold on;
for i = 1:length(cz)
    
    color = cmap(i, :);
    quiver3(0, 0, cz(i), cx(i), cy(i), 0, 'Color', color, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5);
    plot3(cx(i), cy(i), cz(i), 'o', 'MarkerFaceColor', color, 'MarkerEdgeColor', 'k');
end

xlabel('Velocidad i [m/s]')
ylabel('Velocidad j [m/s]')
zlabel('Profundidad [m]')
view(3)
grid on
colormap(flipud(jet))
hold off

5 Divergencia de [math]\vec{v}[/math]

6 Flujo resultante

7 Expresión en distintas coordenadas

8 Curvatura y torsión de la espiral de Ekman

8.1 Demostración mediante el triedro de Frenet

9 Similitudes con la espiral logarítmica

9.1 Otras aplicaciones en ingeniería

10 Véase también

11 Referencias