Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Figura 1: Líneas coordendas.

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{cases} x_1 = aq \cos \psi \\ x_2 = bq \sin \psi \\ x_3 = z \end{cases} [/math] donde \(a = 2\) y \(b = 3\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_q\): Manteniendo \(\psi\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_q(t): \begin{cases} x_1 = 2t \cos \psi \\ x_2 = 3t \sin \psi \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(\psi\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos t \\ x_2 = 3q \sin t \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(\psi\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos \psi \\ x_2 = 3q \sin \psi \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

En el plano \(x_3=0\), las líneas coordenadas asociadas a \(q\) son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a \(\psi\) son elipses parametrizadas por \((q,\psi)\).

Las líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\) quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100);  % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % rango de psi
z = 0;  % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15)  % 15 líneas coordenadas gamma_q
    x = 2*q .* cos(psi_val);
    y = 3*q .* sin(psi_val);
    plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7)  %7 líneas coordenadas gamma_psi
    x = 2*q_val * cos(psi);
    y = 3*q_val * sin(psi);
    plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);  %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;

2 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

2.1 Campos velocidad

1. Derivada respecto a \(q\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(\psi\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]

2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]

3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]

2.3 Vectores tangentes normalizados

Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

1. Para \(\vec{e}_q\): [math] \gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]

2. Para \(\vec{e}_\psi\): [math] \gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]

3. Para \(\vec{e}_z\): [math] \gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}. [/math]

2.4 Comprobación de ortonormalidad

1. Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} = \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}. [/math]

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) no son ortogonales.

2. Producto escalar con \(\vec{e}_z\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0. [/math]

Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.

2.5 Código y gráfica

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea \(\gamma_q\) (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro \(q\) varía y \(\psi\) permanece constante en \(\psi_0 = \pi/4\). La línea representa cómo las coordenadas varían con \(q\) en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea \(\gamma_\psi\) (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro \(\psi\) varía y \(q\) permanece constante en \(q_0 = 1\). La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto \((q_0, \psi_0)\) se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:

• \(\vec{e}_q\) (en verde): Es el vector tangente a la línea \(\gamma_q\) en el punto específico, paralelo al eje \(q\).
• \(\vec{e}_\psi\) (en magenta): Es el vector tangente a la línea \(\gamma_\psi\) en el punto específico, paralelo al eje \(\psi\).

Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\).

% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3; 
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0]; 
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
    'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;

3 Punto P en coordenadas elípticas

Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] y dado el punto en cartesianas P=\((x_1, x_2, x_3)\)=\((2, 0, 0)\)

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar \(q\) y \(ψ\): [math] \begin{cases} q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\ ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1}) \end{cases} [/math]

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases} q= 1 \\ ψ= 0 \\ z= 0 \end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= \((q,ψ,z)\)=\((1, 0, 0)\)

4 Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas

Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x1,x2,x3)\):

[math] \begin{aligned} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math]

donde \(a = 2\) y \(b = 3\), y siendo la curva \((γ_ψ(t))\) ya parametrizada y con sus componentes \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2·1·\cos t \\ x_2 = 3·1·\sin t \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math]

Curva parametrizada.

%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on

5 Curvatura y puntos máximos y mínimos

Teniendo la parametrización de la curva: [math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2·1·\cos t \\ x_2 = 3·1·\sin t \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math] cuyas componentes son \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\):

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula: [math] \kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3} [/math]

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

[math] \kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}} [/math]

Los puntos máximos de la curvatura son el conjunto de puntos de valor \(k(t)= 0,75\) y \(t = n + 1,7\) aproximadamente.

Figura 4: Curvatura k(t).

% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70); 

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);

6 Vectores tangente y normal a la curva

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones \(x_1 = a \cos(t)\) y \(x_2 = b \sin(t)\), donde \(a = 2\) y \(b = 3\).

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro \(t\) para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva \(\gamma(t)\) junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

Figura 5: Vectores tangente y normal

% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10); 
x1_puntos = a * cos(t_puntos); 
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos);  % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente; 
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y; 
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100); 
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');

8 Superficies de nivel de campos escalares

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(q,\psi,z)=q\), \(f_2(q,\psi,z)=\psi\) y \(f_3(q,\psi,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}\)

Que en cartesianas son:

• \(f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}\)
• \(f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}\)
• \(f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}\)

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar \(f_1\) representan elipses centradas en el origen, las de \(f_2\) representan planos inclinados que pasan por el eje \(x_3\), y las de \(f_3\) representan planos horizontales a "cota" \(c\).

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):

Superficies de nivel.

% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas 
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50); 

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla)); 

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;

9 La elipse y su uso en la ingeniería

elipse es una curva plana y cerrada, que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos es constante.
En la ingeniería, y mas concreto en la ingeniería civil, se usan por sus propiedades geométricas y estructurales uncias. Por ejemplo, por su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes y arcos tienen forma de elipse, debido a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad.

-->Esta forma también ayuda en los túneles, los cuales sufren presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno. --> La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas. --> La elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el espacio utilizable en sitios muy limitados, como en los túneles ferroviarios. Pero su uso mas conocido es por estética, siendo una forma agradable y muy poco agresiva para la vista, combinada con otras formas, crea un conjunto muy atractivo, su utilización es muy común en fachadas de iglesias o como decoración en los puentes.

En conclusión el uso de la elipse destaca por su combinación de funcionalidad, gracias a sus útiles propiedades, y por su estética agradable a la vista.