Flujo de Poiseuille Grupo 30

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Deformaciones de una placa plana. Grupo 30-O
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Ivan Ortega Perez Natalia Esteban Tezanos Ana España Franco Abdallah Attar Altarazi Guillermo Rodriguez Navadijos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La ley de Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille, describe el flujo laminar estacionario de un líquido incompresible. En este caso, analizaremos el flujo de un líquido incompresible a través de una tubería cilíndrica con un radio de 3, lo que implica una sección transversal circular constante. Este flujo depende del gradiente de presión y del radio de la tubería.

Para desarrollar este análisis, hemos utilizado el software Matlab, que nos ha permitido representar gráficamente los resultados, como secciones transversales y gradientes, de manera visual. Esto facilita al lector una mejor comprensión de la Ley de Poiseuille, ayudándole a interpretar y entender sus implicaciones de forma clara y didáctica.

2 Dibujar un mallado 2D de la sección longitudinal

Se trata de graficar la sección longitudinal de la tubería en coordenadas [math] x_{1} = 0 [/math], [math] \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,4 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. [/math]

x=0:0.05:2;  %Creamos Vectores
y=0:0.2:10;
[XX,YY]=meshgrid(x,y);  %Creamos Malla
mesh(XX,YY,0*XX);  %Representamos la sección
axis([0,4,0,10]);  %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Malla de la Sección Longitudinal');

3 Resolver la ecuación diferencial para f(ρ)

3.1 Ecuación de Navier-Stokes

La velocidad de las partículas de nuestro fluido viene dada por el campo [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math], y la presión por [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)/4 [/math], donde [math] p_{1} [/math] es la presión en los puntos [math] z=1 [/math], [math] p_{2} [/math] la presión en los puntos [math] z=5 [/math].

Ambas magnitudes, [math] \left ( \vec{u},\rho \right ) [/math], cumplen la ecuación estacionaria de Navier-Stokes, independiente del tiempo, donde [math] \mu [/math] es el coeficiente de viscosidad de fluido: [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math] Comprobamos que [math]f\left ( \rho \right ) [/math] satisface la siguiente ecuación diferencial, despreciendo la parte convectiva, que corresponde con el primer término. [math] \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}. [/math] Resolvemos multiplicando por [math] \rho [/math] e integrando 2 veces:

1) Multiplicamos por [math] \rho [/math]

[math] \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \rho\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} [/math]

2) Integramos

[math] \int \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu}\int\rho d\rho [/math]

[math] \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} [/math]

[math]\frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } =\frac{p_{2}-p_{1}}{2\mu}\cdot \rho[/math]

3)Integramos por segunda vez

[math] \int \left ( \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right ) d\rho = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu}\int\rho d\rho [/math]

[math] f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{2\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{2} + c \right ) [/math]

Para darle valor a la constante, usamos el dato de que en [math] \rho = 3 [/math] la velocidad es cero, por tanto, como la velocidad es [math] f\left ( \rho \right )\vec{e_{z}}, [/math] entonces [math] f\left ( 3 \right ) [/math] debe ser cero. La [math] f\left ( \rho \right ) [/math] nos queda: [math] f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right ) [/math]

3.2 Verificación de la condición de incompresibilidad

Dado que el agua es un líquido incompresible, su volumen debe permanecer constante, lo que implica que su densidad no varía. Para garantizar esta propiedad, se verifica que la divergencia del campo de velocidades sea cero. Esto se debe a que, en un fluido, la divergencia del campo de velocidades en un punto refleja la variación de la densidad del fluido en ese punto. [math] \triangledown \cdot \vec{u}=0 [/math] [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math]

[math]\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho \cdot u_{\rho } \right )+\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( u_{\theta } \right ) + \frac{\partial }{\partial z}\left (\rho \cdot u_{z}\right)\right) [/math]

[math]\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho}\left ( \frac{\partial }{\partial z}\left(\rho \cdot f\left(\rho\right)\right)\right)[/math]

[math]\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \frac{(p_2 - p_1)}{4\mu} \rho \left( \rho^2 - 9 \right) \right] = 0.[/math] (para cualquier valor de [math]\rho[/math]).

3.3 Campo de velocidades y campo de presiones

Vamos a dar como dato: p1=1, p2=6 y μ=1

4.1 Campo de velocidades Anteriormente hemos obtenido la función de velocidad.

Vamos a sustituir los valores dados:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{P2-P1}{4\mu} (\rho^2-9))\vec{e_z}[/math]

Como podemos observar, a medida que nos acercamos al borde de la tubería, entra menos velocidad mientras que en el centro, hay un mayor flujo de concentración de velocidades.

% Crear la malla 2D
[X, Z] = meshgrid(x, z);

% Calcular el campo de velocidades
p1 = 1;        % Presión inicial
p2 = 6;        % Presión final
mu = 1;        % Viscosidad dinámica

ux = ((p2 - p1) / (4 * mu)) .* (X.^2 - 9);  % Componente en ρ (x)
uz = 0 .* Z;                                % Componente en z (constante)

% Corregir los valores de ux donde X^2 > 9 para evitar valores inválidos
ux(X.^2 > 9) = 0;

% Representación del campo de velocidades
figure;
hold on;
quiver(X, Z, ux, uz, 'b');  % Campo de velocidades con flechas
axis([0, 4, 0, 10]);        % Ajustar los límites del gráfico
xlabel('\rho');             % Etiqueta del eje ρ
ylabel('z');                % Etiqueta del eje z
title('Campo de velocidades');
grid on;
hold off;
view(2);

4.2 Campo de presiones

La expresión del campo de presiones viene dada como:

[math]p(x,y,z)=p_1+\frac{(p_2-p_1)}{4}(z-1)[/math]

Como podemos comprobar, la presión no aumenta con el radio, sino con el parámetro "z".

% Parámetros del problema
p1 = 2;        % Presión inicial
p2 = 6;        % Presión final

% Intervalo de altura 'z'
z = 0:0.1:5;   % Altura en el eje z

% Cálculo del campo de presiones
f = p1 + ((p2 - p1) / 4) .* (z - 1);  % Campo de presiones

% Graficar el campo de presiones
figure;
plot(z, f, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % Gráfica con línea roja
grid on;                            % Activar cuadrícula
xlabel('Altura (z)');               % Etiqueta del eje z
ylabel('Presión (p)');              % Etiqueta del eje p
title('Campo de Presiones');        % Título de la gráfica
xlim([0, 5]);                       % Limitar el eje z para claridad

4 Líneas de corriente

Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], debemos tener en cuenta que estas son tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cada apunto.

Procedemos a calcular [math]\overrightarrow{v}[/math] que es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math] ya que se comprueba que: [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\times \overrightarrow{u}[/math].

Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] es nula. Consequentemente, el rotacional del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math])

[math]\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }} \ltmath\gt\overrightarrow{v}=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu} \cdot \left (\frac{\rho^{2}}{1} - 9 \right ) [[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC24/25]][/math]