Placa Plana (Grupo 26)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Placa plana. Grupo 26
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones.

• Sistema isotropo
• Gradiente de temperatura pequeño
• No hay transferencia de calor por convección ni radiación

Consideramos una placa plana rectangular que ocupa la región (x,y)

2 Mallado

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3].
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

derecha

% configuración de los ejes
axis equal 
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on 
mesh(mx,yy,0.*mx);

3 Temperatura

Calculamos el gradiente de la temperatura T ([math]\nabla T[/math]), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector.
La temperatura viene dada por la siguiente expresión [math] T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)[/math], este campo escalar dependerá de las variables x e y. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

derecha

%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off

FORMULAS ARMANDO [math] [/math] [math] ∇ · σ [/math] [math] \vec{Q} [/math] [math]\vec{Q}= −κ∇T [/math] [math] \vec{u} [/math] [math] ∇ · \vec{u} [/math] [math] |∇ × \vec{u}| [/math] [math] ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 [/math] [math] σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ [/math] [math] \mathbb{R}^3 [/math] [math] \vec{i}·σ·\vec{i} [/math] [math] \vec{j}·σ·\vec{j} [/math] [math] \vec{k}·σ·\vec{k} [/math] [math] \vec{i} \vec{j} \vec{k} [/math] [math] |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| [/math] [math] σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} [/math] [math] σ_{1} σ_{2} σ_{3} [/math] [math] \vec{F} = -∇·σ [/math] [math] d(x,y) = (2-|x|)(4-y) [/math]

[math]\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)[/math]

4 Ley de Fourier

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones.

• Sistema isotropo
• Gradiente de temperatura pequeño
• No hay transferencia de calor por convección ni radiación
  

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:

[math]\vec{Q}= −κ∇T [/math]

%Dibujamos las curvas de nicel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente 
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off

centro

FORMULAS ARMANDO d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

5 Campo de desplazamientos

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

izquierda

%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');

6 Desplazamiento de los vectores

%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off

centro

7 11 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

σVM=raiz ( (σ1−σ2)^2+(σ2−σ3)^2+(σ3−σ1)^2 ) /2

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto: