Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.
Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:
[math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]
En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:
[math] \begin{cases} x_1 &= 2q \cos \psi \\ x_2 &= 3q \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]
Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección [math] x_1 [/math]); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección [math] x_2 [/math]), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:
.jpg)
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje [math] x_1 [/math]; y \(z\) hace referencia a la altura.
Contenido
- 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas
- 2 Campos de velocidad y vectores tangentes
- 3 Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas
- 4 Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas
- 5 Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse
- 6 Vectores tangente y normal de la curva gamma
- 7 La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura
- 8 Las superficies de nivel de campos escalares
- 9 La elipse y su uso en la ingeniería
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.
En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
- Línea coordenada \(\gamma_q\): mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).
[math] \gamma_q (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2k \cos \psi \\ x_2 &= 3k \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,1) [/math].
- Línea coordenada \(\gamma_\psi\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).
[math] \gamma_\psi (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2q \cos k \\ x_2 &= 3q \sin k \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,2\pi) [/math].
- Línea coordenada \(\gamma_z\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).
[math] \gamma_z(k)\:\begin{cases} x_1 &= 2q \cos \psi \\ x_2 &= 3q \sin \psi \\ x_3 &= k \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon \mathbb{R} [/math].
Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:
- Línea coordenada \(\gamma_q\): Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.
- Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2[math] \pi [/math] obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.
- Línea coordenada \(\gamma_z\):no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)[math] \epsilon \mathbb{R} [/math]
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;
% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end
for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end
% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
2 Campos de velocidad y vectores tangentes
2.1 Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)
Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo ([math] \frac {dx}{dt} [/math]). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).
1. Derivada respecto a \(q\) [math]\begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} = 0 \end{cases} [/math] [math] \quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j} [/math]
2. Derivada respecto a \(\psi\) [math]\begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j} [/math]
3. Derivada respecto a \(z\) [math]\begin{cases} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k} [/math]
2.2 Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: [math] \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} [/math]
De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:
1. El módulo de [math]\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}[/math]
2. El módulo de [math]\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}[/math]
3. El módulo de [math]\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1[/math]
2.3 Vectores tangentes [math] \vec {e}_q, \vec{e}_\psi[/math] y [math] \vec {e}_z [/math]
Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:
1. [math] \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}[/math]
2. [math] \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}[/math]
3. [math] \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}[/math]
2.4 ¿Forman una base ortonormal?
2.4.1 Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)
[math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} = \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0. [/math]
El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) no son ortogonales.
2.4.2 Producto escalar con \(\vec{e}_z\)
[math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0. [/math]
2.4.3 Conclusión
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí. No formando así una base ortonormal.
3 Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas
Siendo un punto [math]P[/math] de coordenadas cartesianas [math]x_1, x_2[/math] y [math]x_3[/math]; denotado como [math]P(x_1,x_2,x_3)[/math], el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo [math]a[/math] el semieje menor y [math]b[/math] el semieje mayor):
[math] \begin{cases} q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\ \psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\ z &= x_3 \end{cases} [/math] [math] \\ [/math]
3.1 ¿Cómo hallar esas relaciones?
Esa relación de [math]\psi[/math] se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la [math]q[/math] de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas [math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} \\ [/math] Quedaría así: [math] \\ q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi} \\ [/math] Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así: [math] \\ x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi \\ [/math] Utilizando [math]\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi[/math], quedaría así: [math] \\ x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi \\ [/math] Finalmente, se despeja [math]\psi[/math], quedando: [math] \\ \psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\ [/math] [math] \\ [/math] Para hallar la relación de [math]q[/math], se despeja [math]\cos\psi[/math] y [math]\sin\psi[/math] de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: [math]\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}[/math]; [math]\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}[/math]
Usando [math]\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1[/math] se obtiene: [math] \\ (\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1 \\ [/math] Y despejando [math]q[/math]: [math] \\ q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\ \\ [/math] [math] \\ [/math] La relación de [math]z[/math] permanece igual.
3.2 Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas
Si tenemos [math]P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)[/math] en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con [math]a=2[/math] y [math]b=3[/math], quedaría: [math] \\ \begin{cases} q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\ \psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\ z &= 0 \end{cases} [/math] [math] \\ [/math] [math] P(q,\psi,z)=(1,0,0)[/math]
4 Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas
5 Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse
Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t ([math] t\epsilon (0,2\pi) [/math]), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.
La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:
[math] k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{2/3}} [/math]
Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:
[math] k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{2/3}} [/math]
Donde t[math] \epsilon (0,2\pi)[/math]
Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.
Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).
[math] k'(t)=\frac{-6(-2/3)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} = \frac{40cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} [/math]
Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando [math] 40cos(t)sin(t)=0 [/math]. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:
[math] \begin{cases} t_1 &= 0\\ t_2 &= \pi/2 \\ t_3 &= \pi \\ t_4 &= 3\pi/4 \end{cases} [/math]
Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
- Realizar la segunda derivada
- Observar la representación de la elipse y comparar los puntos
Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:
[math] \begin{cases} P_1 &= (2,0,0)\\ P_2 &= (0,3,0)\\ P_3 &= (-2,0,0)\\ P_4 &= (0,-3,0) \end{cases} [/math] Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.
Como podemos observar los puntos [math] p_1 [/math] y [math] p_3 [/math] son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos [math] p_2 [/math]y [math] p_4 [/math] se alcanza la curvatura máxima.
El valor máximo de la curvatura es: 3/2
El valor mínimo de la curvatura es: 2/3
6 Vectores tangente y normal de la curva gamma
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:
[math] \begin{cases} x_1(t)=acos(t)\\ x_2(t)=bsin(t)\\ \end{cases} [/math]
Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.
El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.
En la gráfica representada por MATLAB, se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en magenta) y normal (en azul) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
7 La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura
Una circunferencia osculatriz es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de mayor curvatura.
Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:
[math]R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}[/math]
Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro punto de contacto.
El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:
[math](x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})[/math]
En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:
[math]\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2[/math]
Gracias a al código MATLAB, podremos ver gráficamente este resultado. De [math]negro[/math] vemos la elipse, de [math]\color{Blue} {azul}[/math] con línea discontinua la circunferencia osculatriz y la cruz [math]\color{Red} {roja}[/math] marca el punto de contacto.
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
8 Las superficies de nivel de campos escalares
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:
[math] f_{1}(q,\psi,z)=q \\ f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\ f_{3}(q,\psi,z)=z \\ [/math]
8.1 Superficies de nivel
Las superficies de nivel son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \) , la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z) =cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:
\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)
\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)
\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)
8.2 Representación
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son: [math] f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\ f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\ f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\ [/math] La superficie [math]f_1[/math] representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)
La superficie [math]f_2[/math] representada es el plano [math]x_1=x_2[/math]
La superficie [math]f_3[/math] representada es un plano paralelo al [math]OX_1X_2[/math].
Gracias a las imágenes generadas por MATLAB, podemos observar que:
Campo \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).
Campo \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).
Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\): Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).
8.3 Superficies regladas
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
8.3.1 Uso de superficies regladas en la ingeniería civil
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.
9 La elipse y su uso en la ingeniería
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.
A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
9.1 Puentes y Arcos Elípticos
Utilizamos arcos elípticos en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _
Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
9.2 Cubiertas y Cúpulas Elípticas
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.
Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):
9.3 Túneles Elípticos
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.
Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
9.4 Otros
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios. Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):
