La clotoide (Grupo 40)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 40
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Una clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-L,L) [/math]

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave. (L=5)

Dibujo de la curva

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) [/math]

Calculo vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Calculo vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 [/math]

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Curva vector tangente y normal

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] [/math]

Dibujo de la curvatura

t=linspace(-5,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el punto [math] P=\gamma (2) [/math], es decir [math] t=2 [/math], hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:

El radio:

[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1/2 [/math]

El centro:

[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math]

[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]

Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:

[math] c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) [/math]

[math] c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] [/math]

Archivo:1.6666

Circunferencia osculatriz

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);
t1= linspace (0, 1/2, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
x1= arrayfun (x1, 2); 
y1= arrayfun (y1, 2);
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
k=1;
R=1/2;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
figure
hold on
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

2 Helicoide cónico

2.1 Dibujo de la superficie

En este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico

• La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:

[math] \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) [/math]

Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:

[math]\ {S}(t,ρ)=(x_{1}+ρcos(t),x_{2}+ρsin(t),x_{3}) [/math]

Porque el vector director eρ en cartesianas es [math] cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j [/math] y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

Archivo:Graficaej9

Dibujo de la superficie

t = linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de t
rho = linspace(0, 1, 100);     % Valores de rho
[T, Rho] = meshgrid(t, rho);   % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=T.*cos(T)+Rho.*cos(T);
Y=T.*sin(T)+Rho.*sin(T);
Z=T;
% Gráfica de la superficie 
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar; 
c.Label.String='Valores en Z'; 
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y'); 
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica'); 
grid on;

3 Masa de la superficie reglada.

Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:

[math]f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2[/math]

Una vez conocida la superficie y la densidad podemos calcular su masa utilizando la siguiente expresión:

Masa [math]S =\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f({x(u,v),y(u,v),z(u,v)})\cdot \left | \bar{r_u}\times\bar{r_v} \right |dudv[/math]

Gracias a los cálculos realizados anteriormente podemos calcular la masa :

[math] \phi (u,v)\begin{cases} x=cosv+u\cdot cosv \\ y=senv+u\cdot senv\\ z=v \end{cases} [/math]

El vector de posición esta dado por:

[math] \vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k} [/math]

Así que deberemos aplicar la siguiente fórmula para obtener rᵤ y rᵥ:

[math] \vec{{rᵤ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{u}} = cosv \vec{i}+sinv\vec{j} [/math]

[math] \vec{{rᵥ}}(u,v)=\frac{\partial\vec{r}}{\partial{v}} = -(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k} [/math]