Modelo Lokta-Volterra Prey-Predator. Grupo 6

1 1 INTERPRETACION DEL MODELO

El modelo Lokta-Volterra,asumiendo las hipótesis dadas en el ejercicio, expresa: Sin zorros, los conejos se reproducen siguiendo el modelo de Maltus, por lo que su tasa de crecimiento es proporcional a su tamaño.

Maltus: R'(t) = aR(t)

Sin conejos que comer, la población de zorros disminuye proporcionalmente a su tamaño.
F'(t)=-bF(t)

La tasa a la cual los conejos son comidos por zorros es proporcional a la tasa de interacción entre zorros y conejos.
R'(t)=-cF(t)R(t)

La tasa por la cual los zorros nacen es proporcional a la tasa por la cual los conejos son comidos.
F'(t)= dF(t)R(t)

Por lo tanto, este modelo nos da el ritmo de crecimiento de las poblaciones de los depredadores y las presas (conejos y zorros) dado el número de miembros de cada una. El sistema que resulta es:

1.1 Ecuaciones:

dR/dt= aR - cFR
dF/dt= -bF + dFR

En estas ecuaciones los parámetros tienen los siguientes significados:

• a: el factor proporcional relacionado con el ritmo de reproducción de los conejos cuando no hay zorros
• b: es el factor con el que los zorros decrecen a un ritmo proporcional a su tamaño sin conejos que comer.
• c: es la proporción a la cual las interacciones entre zorros y conejos hacen decrecer a la población de los conejos.
• d: es el factor proporcional que maneja el ritmo al cual los zorros nacen. Este ritmo es proporcional al ritmo al que los conejos son comidos por los zorros.

2 2 LOKTA-VOLTERRA SEGUN EULER

Para una población de conejos y zorros ( R(t) y F(t)), particularizamos los parámetros arriba indicados (a=0.4, b=0.37, c=0.3, d=0.05) y consideramos que en un tiempo tЄ[0,100] tenemos una población de 3000 conejos y de 1000 zorros.

2.1 Codigo Matlab

Resolvemos el sistema según el siguiente código MATLAB:

% Z es la variable y su primer elemento sera R y el segundo F%
a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05;
t=0;
i=1;
z=[3;1];
f1(i)=Z(1),f2(i)=Z(2);
x(i)=t;
h=0.01;
while t<100
  i=i+1;
  D=Z;
  t=t+h;
  F=[a*Z(1)-c*Z(1)*Z(2),d*Z(1)*D(2)-b*Z(2)];
  p=h*F
  X=t;
  Z=D+h*F;
  f1(i)=Z(1),f2(i)=Z(2);
  x(i)=t;
end
figure(1)
hold on
plot(x;f1,'b',x,f2,'r')
figure(2)
hold on
plot(fi,f2,'g')
hold off

2.2 Graficas

Distribución de conejos y zorros en el tiempo. Siendo la línea de arriba (azul) los conejos y la de abajo (rojo) los zorros.

De la gráfica se deduce que el aumento de la población de presas conlleva a un aumento de la población de depredadores, del mismo modo que un aumento de la población de depredadores reduce la de presas a mínimos.Con esta gráfica concluimos que las densidades poblacionales de ambas especies están estrechamente relacionadas.

Distribución de conejos-zorros en el tiempo en 2D. En el eje de abscisas se marcan los conejos y en el eje de ordenadas los zorros.

3 3 EXTINCIÓN PARA DISTINTAS POBLACIONES

sprintf('conejos 1500')
a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05;
t=0;
i=1;
Z=[1.5;1];
p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);
x(i)=t;
ext=0;
while t<100
  i=i+1;
  D=Z;
  t=t+h;
  F=[a*Z(1)-c*Z(1)*Z(2);d*Z(1)*D(2)-b*Z(2)];
  P=h*F;
  X=t;
  Z=D+h*F;
  p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);
  x(i)=t;
  if Z(2)<(50/1000)
  ext=1;
  end
end
if ext>0
  sprintf('extincion zorros')
end
sprintf('maximo y minimo de los conejos')
max(p1)
min(p1)
sprintf('maximo y minimo de los zorros')
max(p2)
min(p2)
sprintf('conejos 1000')
a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05;
t=0;
i=1;
Z=[1;1];
p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);
x(i)=t;
ext=0;
while t<100
  i=i+1;
  D=Z;
  t=t+h;
  F=[a*Z(1)-c*Z(1)*Z(2),d*Z(1)*D(2)-b*Z(2)];
  P=h*F;
  X=t;
  Z=D+h*F;
  p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);
  x(i)=t;
  if Z(2)<=(50/1000)
  ext=1;
  end
end
if ext>0
  sprintf('extincion zorros')
end
sprintf('maximo y minimo de los conejos')
max(p1)
min(p1)
sprintf('maximo y minimo de los zorros')
max(p2)
min(p2)
sprintf('conejos 250')
a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05;
t=0;
i=1;
Z=[0.25;1];
p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);
x(i)=t;
ext=0;
while t<100
  i=i+1;
  D=Z;  t=t+h;  F=[a*Z(1)-c*Z(1)*Z(2),d*Z(1)*D(2)-b*Z(2)];  P=h*F;  X=t;  Z=D+h*F;  p1(i)=Z(1),p2(i)=Z(2);  x(i)=t;  if Z(2)<=(50/1000)  ext=1;  endendif ext>0  sprintf('extincion zorros')endsprintf('maximo y minimo de los conejos')max(p1)min(p1)sprintf('maximo y minimo de los zorros')max(p2)min(p2)